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33　三点共线：等斜率路线与减端点连线路线

1993 数三试卷Ⅳ·七：f 在 [0,1][0,1] 连续，在 (0,1)(0,1) 二阶可导；0<c<10<c<1，三点 (0,f(0)),(c,f(c)),(1,f(1))(0,f(0)),(c,f(c)),(1,f(1)) 共线。
∃ξ∈(0,1):f′′(ξ)=0\exists\xi\in(0,1):f''(\xi)=0
①读题：共线先翻成相同斜率
A(0,f(0)), C(c,f(c)), B(1,f(1)),0<c<1A(0,f(0)),\ C(c,f(c)),\ B(1,f(1)),\quad0<c<1
f(c)−f(0)c=f(1)−f(c)1−c\ringB{\frac{f(c)-f(0)}c=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}}
目标 f″(ξ)=0；先把两条斜率变成两个一阶导数值。
②几何条件的另一种等价形式
(1−c)[f(c)−f(0)]=c[f(1)−f(c)](1-c)[f(c)-f(0)]=c[f(1)-f(c)]
f(c)=(1−c)f(0)+cf(1)=f(0)+c[f(1)−f(0)]f(c)=(1-c)f(0)+cf(1)=f(0)+c[f(1)-f(0)]
这一式说明中间点就在端点连线上，也为第二条构造路线准备了零点。
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③先选两段拉格朗日
f 在 [0,c]、[c,1] 连续，内部可导。
∃ξ1∈(0,c):f′(ξ1)=f(c)−f(0)c\exists\xi_1\in(0,c):f'(\xi_1)=\frac{f(c)-f(0)}c
∃ξ2∈(c,1):f′(ξ2)=f(1)−f(c)1−c\exists\xi_2\in(c,1):f'(\xi_2)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}
f′(ξ1)=f′(ξ2),ξ1<c<ξ2f'(\xi_1)=f'(\xi_2),\quad\xi_1<c<\xi_2
④再选罗尔，完成主线
f 二阶可导，故 f′在 [ξ₁,ξ₂] 连续、内部可导。
∃ξ∈(ξ1,ξ2):(f′)′(ξ)=0\exists\xi\in(\xi_1,\xi_2):(f')'(\xi)=0
f′′(ξ)=0,ξ∈(0,1)\boxed{f''(\xi)=0},\quad\xi\in(0,1)
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⑤辅助函数路线：为什么减端点连线
连线值=f(0)+[f(1)−f(0)]x\text{连线值}=f(0)+[f(1)-f(0)]x
F(x)=f(x)−f(0)−[f(1)−f(0)]xF(x)=f(x)-f(0)-[f(1)-f(0)]x
F(0)=F(1)=0,F(c)=0F(0)=F(1)=0,\quad F(c)=0
F′′(x)=f′′(x)F''(x)=f''(x)
一次函数二阶导数为零；减它既造零点又不改变目标。
⑥完整替代证明：三次罗尔
[0,c]:∃ξ1∈(0,c),F′(ξ1)=0[0,c]:\exists\xi_1\in(0,c),F'(\xi_1)=0
[c,1]:∃ξ2∈(c,1),F′(ξ2)=0[c,1]:\exists\xi_2\in(c,1),F'(\xi_2)=0
F′在两点之间连续可导，第三次罗尔给
∃ξ∈(ξ1,ξ2):F′′(ξ)=0⟹f′′(ξ)=0\exists\xi\in(\xi_1,\xi_2):F''(\xi)=0\Longrightarrow f''(\xi)=0
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⑦ξ 不是题目中的 c，也不必是中点
c=13,f(x)=x(x−13)(x−1)c=\tfrac13,\quad f(x)=x(x-\tfrac13)(x-1)
f(0)=f(13)=f(1)=0f(0)=f(\tfrac13)=f(1)=0
f′′(x)=6x−83=0⟹ξ=49≠13,12f''(x)=6x-\tfrac83=0\Longrightarrow\xi=\tfrac49\ne\tfrac13,\tfrac12
⑧两条路线的共同结构
共线→两段等斜率→f′(ξ1)=f′(ξ2)→f′′(ξ)=0\text{共线}\to\text{两段等斜率}\to f'(\xi_1)=f'(\xi_2)\to f''(\xi)=0
共线→减直线造三零点→F′(ξ1)=F′(ξ2)=0→F′′(ξ)=0\text{共线}\to\text{减直线造三零点}\to F'(\xi_1)=F'(\xi_2)=0\to F''(\xi)=0
选哪条都要交代中间两个点分处两段，以及第二层函数的连续可导条件。
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