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34　积分平均函数的单调性：分子构造与直接积分比较

1989 数三试卷Ⅳ·六：f 在 [a,b][a,b] 连续，在 (a,b)(a,b) 可导，a<ba<b 且 f′(x)≤0f'(x)\le0。对 x∈(a,b)x\in(a,b) 定义 F(x)=1x−a∫axf(t) dtF(x)=\frac1{x-a}\int_a^xf(t)\,dt。
F′(x)≤0(a<x<b)F'(x)\le0\quad(a<x<b)
①读题：带 x 的分母与变上限积分一起求导
F(x)=1x−a∫axf(t) dt,f′≤0\ringB{F(x)=\frac1{x-a}\int_a^xf(t)\,dt},\qquad\ringG{f'\le0}
这是 [a,x] 上的平均值；目标是 F′≤0。F 是原题给的字母，后面只新增 G。
②求导逐项展开
(∫axf(t) dt)′=f(x),(x−a)′=1\left(\int_a^xf(t)\,dt\right)'=f(x),\qquad(x-a)'=1
F′(x)=f(x)(x−a)−∫axf(t) dt(x−a)2F'(x)=\frac{f(x)(x-a)-\int_a^xf(t)\,dt}{(x-a)^2}
(x−a)2>0⟹只需证明分子非正(x-a)^2>0\Longrightarrow\text{只需证明分子非正}
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③辅助函数为什么选这个分子
G(x)=(x−a)f(x)−∫axf(t) dtG(x)=(x-a)f(x)-\int_a^xf(t)\,dt
G′(x)=f(x)+(x−a)f′(x)−f(x)=(x−a)f′(x)≤0G'(x)=f(x)+(x-a)f'(x)-f(x)=(x-a)f'(x)\le0
G(a)=0⋅f(a)−∫aaf=0G(a)=0\cdot f(a)-\int_a^af=0
求导后两项 f(x) 抵消，剩下的正是题给导数符号。
④完整主线：对 G 使用拉格朗日
固定任意 x∈(a,b)。G 在 [a,x] 连续、内部可导。
∃ξ∈(a,x):G(x)−G(a)=G′(ξ)(x−a)\exists\xi\in(a,x):G(x)-G(a)=G'(\xi)(x-a)
G(x)=(ξ−a)f′(ξ)(x−a)≤0G(x)=(\xi-a)f'(\xi)(x-a)\le0
F′(x)=G(x)(x−a)2≤0\boxed{F'(x)=\frac{G(x)}{(x-a)^2}\le0}
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⑤另一条路线：从导数符号得到函数比较
对任意 a≤t<x，用拉格朗日：
f(x)−f(t)=f′(ξ)(x−t)≤0,t<ξ<xf(x)-f(t)=f'(\xi)(x-t)\le0,\quad t<\xi<x
f(t)≥f(x)(a≤t≤x)f(t)\ge f(x)\quad(a\le t\le x)
t=x 时是等号，因此比较覆盖整个积分区间。
⑥对 t 积分时，f(x) 是常数
∫axf(t) dt≥∫axf(x) dt=(x−a)f(x)\int_a^xf(t)\,dt\ge\int_a^xf(x)\,dt=(x-a)f(x)
(x−a)f(x)−∫axf(t) dt≤0(x-a)f(x)-\int_a^xf(t)\,dt\le0
F′(x)=(x−a)f(x)−∫axf(t) dt(x−a)2≤0F'(x)=\frac{(x-a)f(x)-\int_a^xf(t)\,dt}{(x-a)^2}\le0
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⑦平均值表示可以比较，但不能把中值点当自变量
∃η∈[a,x]:F(x)=f(η)≥f(x)\exists\eta\in[a,x]:\quad F(x)=f(\eta)\ge f(x)
F′(x)=f(x)−F(x)x−a≤0F'(x)=\frac{f(x)-F(x)}{x-a}\le0
这里 F′仍由原定义求得；不能从 F(x)=f(η) 写 F′(x)=f′(η)。η 会随 x 改变，定理也没保证它唯一或可导。
⑧用两个例子检查结论与边界
f(x)=C⟹F(x)=C,F′(x)=0f(x)=C\Longrightarrow F(x)=C,\quad F'(x)=0
f(x)=C−x⟹F(x)=C−x+a2,F′(x)=−12≠f′(η)=−1f(x)=C-x\Longrightarrow F(x)=C-\frac{x+a}{2},\quad F'(x)=-\frac12\ne f'(\eta)=-1
所以只保证非正，不能擅自改成严格负。G(a) 有定义；原 F(a) 没有定义，不应直接在 [a,x] 上对原 F 套中值定理。
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