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第二视角 · 中值定理与证明题第 32 项 / 1—4

32　累计积分次序：分部后权函数反转不等号

f,gf,g连续，F(x)=∫ax(f−g)≥0,F(b)=0F(x)=\int_a^x(f-g)\ge0,F(b)=0；w∈C1[a,b],w′≥0w\in C^1[a,b],w'\ge0。
∫abw(x)f(x)dx≤∫abw(x)g(x)dx\int_a^bw(x)f(x)dx\le\int_a^bw(x)g(x)dx
①读题：比较的是累计积分，不是逐点大小
F(x)=∫ax[f(t)−g(t)] dt≥0,F(b)=0\ringB{F(x)=\int_a^x[f(t)-g(t)]\,dt\ge0},\quad F(b)=0
w′(x)≥0,目标：∫abwf≤∫abwgw'(x)\ge0,\quad\text{目标：}\int_a^bwf\le\int_a^bwg
不能从累计差非负推出 f≥g；应把 f−g 写成 F′。
②移项后，辅助函数已由题干给出
∫abwf≤∫abwg⟺∫abw(f−g)≤0\int_a^bwf\le\int_a^bwg\Longleftrightarrow\int_a^bw(f-g)\le0
F′(x)=f(x)−g(x)F'(x)=f(x)-g(x)
∫abw(f−g)=∫abwF′\int_a^bw(f-g)=\int_a^bwF'
题设 f、g 连续，微积分基本定理保证这一替换。
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③为什么选分部积分
(wF)′=w′F+wF′(wF)'=w'F+wF'
把 wF′移出来，再在 [a,b] 积分
∫abwF′=[wF]ab−∫abw′F\int_a^bwF'=[wF]_a^b-\int_a^bw'F
这样把导数从 F 移到 w，正好接上题给 w′≥0 与 F≥0。
④边界项逐个检查
F(a)=∫aa(f−g)=0,F(b)=0F(a)=\int_a^a(f-g)=0,\qquad F(b)=0
[wF]ab=w(b)F(b)−w(a)F(a)=0[wF]_a^b=w(b)F(b)-w(a)F(a)=0
第一项来自题给总量相同，第二项来自同上下限积分；两项不能遗漏。
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⑤负号决定不等式反向
w′(x)F(x)≥0⟹∫abw′(x)F(x) dx≥0w'(x)F(x)\ge0\Longrightarrow\int_a^bw'(x)F(x)\,dx\ge0
∫abw(f−g)=−∫abw′F≤0\int_a^bw(f-g)=-\int_a^bw'F\le0
∫abw(x)f(x) dx≤∫abw(x)g(x) dx\boxed{\int_a^bw(x)f(x)\,dx\le\int_a^bw(x)g(x)\,dx}
⑥具体权重 w(x)=x
w′=1⟹∫abxf(x) dx−∫abxg(x) dx=−∫abF(x) dxw'=1\Longrightarrow\int_a^bxf(x)\,dx-\int_a^bxg(x)\,dx=-\int_a^bF(x)\,dx
F≥0⟹∫abxf≤∫abxgF\ge0\Longrightarrow\int_a^bxf\le\int_a^bxg
这个权重下还能完整讨论等号。
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⑦等号为什么会迫使 f=g
∫abxf=∫abxg⟹∫abF=0\int_a^bxf=\int_a^bxg\Longrightarrow\int_a^bF=0
F 连续非负；若某处 F>0，则邻域给严格正面积，矛盾。
F≡0⟹F′=f−g≡0 于 (a,b)F\equiv0\Longrightarrow F'=f-g\equiv0\text{ 于 }(a,b)
f、g 连续，再把等式延伸到两个端点。
f≡g 于 [a,b]\boxed{f\equiv g\text{ 于 }[a,b]}
⑧一般权重的等号不能照搬
w(x)≡1⟹w′=0w(x)\equiv1\Longrightarrow w'=0
∫abwf=∫abwg只说明两者总积分相同\int_a^bwf=\int_a^bwg\quad\text{只说明两者总积分相同}
这不强迫 f=g。第⑦步依赖 w′=1；若 w′有整段为零，那里仍可能存在非零累计差。
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