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第二视角 · 中值定理与证明题第 31 项 / 1—4

31　固定权重总量：单调函数的左右端区间界

f,gf,g 在 [a,b][a,b] 连续，a<ba<b，ff 单调不减，0≤g≤10\le g\le1；用 L=∫abg(x) dx{L}=\int_a^bg(x)\,dx 表示权重总量。
∫aa+Lf(x) dx≤∫abf(x)g(x) dx≤∫b−Lbf(x) dx\int_a^{a+{L}}f(x)\,dx\le\int_a^bf(x)g(x)\,dx\le\int_{b-{L}}^bf(x)\,dx
①读题：权重在 0 与 1 之间，总量固定
f 不减,0≤g≤1,L=∫abg(x) dxf\text{ 不减},\quad\ringB{0\le g\le1},\quad{L}=\int_a^bg(x)\,dx
∫aa+Lf≤∫abfg≤∫b−Lbf\int_a^{a+{L}}f\le\int_a^bfg\le\int_{b-{L}}^bf
保留原专题的 L 表示权重总量；先检验它确实能作为一段区间长度。
②先保证两段端点真的位于原区间
0≤g≤1⟹0≤L≤b−a0\le g\le1\Longrightarrow0\le{L}\le b-a
a≤a+L≤b,a≤b−L≤ba\le a+{L}\le b,\qquad a\le b-{L}\le b
若 L=0，连续非负的 g 恒为零；若 L=b−a，则 g恒为1，两端界都取等号。以下也可统一按积分式处理。
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③选积分比较，不要强行用中值定理
f 只给连续、单调，不一定可导。把两边移成积分差，并减去分割点的固定高度。
c=a+L⟹∫cbg=L−∫acg=∫ac(1−g)c=a+{L}\Longrightarrow\int_c^bg={L}-\int_a^cg=\int_a^c(1-g)
这条等量关系会消掉加减 f(c) 所产生的常数项。
④下界：先分段，再加减 f(c)
∫abfg−∫acf=∫cbfg−∫acf(1−g)\int_a^bfg-\int_a^cf=\int_c^bfg-\int_a^cf(1-g)
=∫cb[f(x)−f(c)]g(x) dx=\int_c^b[f(x)-f(c)]g(x)\,dx
+∫ac[f(c)−f(x)](1−g(x)) dx\quad+\int_a^c[f(c)-f(x)](1-g(x))\,dx
+f(c)[∫cbg−∫ac(1−g)]\quad+f(c)\left[\int_c^bg-\int_a^c(1-g)\right]
最后一行由第③步等于零。
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⑤下界：每个被积项的符号都明确
x≥c: f(x)−f(c)≥0,g(x)≥0x\ge c:\ f(x)-f(c)\ge0,\quad g(x)\ge0
x≤c: f(c)−f(x)≥0,1−g(x)≥0x\le c:\ f(c)-f(x)\ge0,\quad1-g(x)\ge0
∫abfg−∫acf≥0\int_a^bfg-\int_a^cf\ge0
∫aa+Lf≤∫abfg\boxed{\int_a^{a+{L}}f\le\int_a^bfg}
⑥上界：改在右侧分割点对齐总量
d=b−L,∫db(1−g)=L−∫dbg=∫adgd=b-{L},\quad\int_d^b(1-g)={L}-\int_d^bg=\int_a^dg
∫dbf−∫abfg=∫dbf(1−g)−∫adfg\int_d^bf-\int_a^bfg=\int_d^bf(1-g)-\int_a^dfg
=∫db[f(x)−f(d)](1−g(x)) dx=\int_d^b[f(x)-f(d)](1-g(x))\,dx
+∫ad[f(d)−f(x)]g(x) dx\quad+\int_a^d[f(d)-f(x)]g(x)\,dx
补出的常数项为 f(d)[∫(1−g)−∫g]，由第一行等于零。
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⑦上界与最终夹逼
x≥d: f(x)−f(d)≥0;x≤d: f(d)−f(x)≥0x\ge d:\ f(x)-f(d)\ge0;\qquad x\le d:\ f(d)-f(x)\ge0
g≥0,1−g≥0⟹∫dbf−∫abfg≥0g\ge0,\quad1-g\ge0\Longrightarrow\int_d^bf-\int_a^bfg\ge0
∫aa+Lf≤∫abfg≤∫b−Lbf\boxed{\int_a^{a+{L}}f\le\int_a^bfg\le\int_{b-{L}}^bf}
⑧为什么不要求 f≥0
证明只比较 f(x)−f(c)、f(x)−f(d)，没有单独要求 f 的正负。
f(x)↦f(x)+Cf(x)\mapsto f(x)+C
∫ab(f+C)g=∫abfg+CL\int_a^b(f+C)g=\int_a^bfg+C{L}
∫aa+L(f+C)=∫aa+Lf+CL\int_a^{a+{L}}(f+C)=\int_a^{a+{L}}f+C{L}
三边都增加同一个 CL，说明这个界本来就不依赖绝对高度。
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