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第二视角 · 中值定理与证明题第 30 项 / 1—4

30　积分大于弦下基准：内点极值与负二阶导

ff在[0,1][0,1]二阶可导，f(0)=0,f(1)=1,∫01f=1f(0)=0,f(1)=1,\int_0^1f=1。
∃ξ∈(0,1):f′(ξ)=0,∃η∈(0,1):f′′(η)<−2\exists\xi\in(0,1):f'(\xi)=0,\quad\exists\eta\in(0,1):f''(\eta)<-2
①读题：积分面积等于 1，图像能否一直不超过 1？
f(0)=0,f(1)=1,∫01f(x) dx=1f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad\ringB{\int_0^1f(x)\,dx=1}
目标一：f′(ξ)=0;目标二：f′′(η)<−2\text{目标一：}f'(\xi)=0;\qquad\text{目标二：}f''(\eta)<-2
第一问先找超过右端高度的内点；第二问根据 −2 反推一个二次比较函数。
②严格面积矛盾：左端附近一定有缺口
反设 f(x)≤1。由 f(0)=0 和连续性，存在 δ∈(0,1)，使
0≤x≤δ⟹f(x)≤120\le x\le\delta\Longrightarrow f(x)\le\frac12
∫01f≤δ2+(1−δ)=1−δ2<1\int_0^1f\le\frac\delta2+(1-\delta)=1-\frac\delta2<1
与题设矛盾，因此某内点 c 满足 f(c)>1。
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③第一问完整证明：最大点在内部
f(c)>1=max⁡{f(0),f(1)}f(c)>1=\max\{f(0),f(1)\}
连续函数在 [0,1] 取最大值；最大点 ξ 不可能在两端。
ξ∈(0,1)→费马f′(ξ)=0\xi\in(0,1)\xrightarrow{\text{费马}}\boxed{f'(\xi)=0}
④第二问：为什么补的二次项是 2x−x²
想让 F′′=f′′+2,F=f−P⟹P′′=−2\text{想让 }F''=f''+2,\quad F=f-P\Longrightarrow P''=-2
P(x)=−x2+Bx+CP(x)=-x^2+Bx+C
P(0)=f(0)=0⟹C=0P(0)=f(0)=0\Longrightarrow C=0
P(1)=f(1)=1⟹−1+B=1⟹B=2P(1)=f(1)=1\Longrightarrow-1+B=1\Longrightarrow B=2
F(x)=f(x)−(2x−x2)\purple{F(x)=f(x)-(2x-x^2)}
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⑤端点归零，积分迫使内部出现正值
F(0)=F(1)=0F(0)=F(1)=0
∫01F=1−∫01(2x−x2) dx=1−(1−13)=13>0\int_0^1F=1-\int_0^1(2x-x^2)\,dx=1-\left(1-\frac13\right)=\frac13>0
∃c∈(0,1):F(c)>0\exists c\in(0,1):F(c)>0
若全部内点 F≤0，则积分≤0，矛盾。这里 c 重新表示 F 的正值点。
⑥两侧拉格朗日产生一正一负的导数
∃ξ1∈(0,c):F′(ξ1)=F(c)c>0\exists\xi_1\in(0,c):\quad F'(\xi_1)=\frac{F(c)}c>0
∃ξ2∈(c,1):F′(ξ2)=−F(c)1−c<0\exists\xi_2\in(c,1):\quad F'(\xi_2)=-\frac{F(c)}{1-c}<0
F 连续可导；两个分母均为正。
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⑦再对 F′用拉格朗日，得到严格负二阶导数
F′在 [ξ₁,ξ₂] 连续、内部可导。
∃η∈(ξ1,ξ2):F′′(η)=F′(ξ2)−F′(ξ1)ξ2−ξ1<0\exists\eta\in(\xi_1,\xi_2):\quad F''(\eta)=\frac{F'(\xi_2)-F'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}<0
F′′(η)=f′′(η)+2<0⟹f′′(η)<−2F''(\eta)=f''(\eta)+2<0\Longrightarrow\boxed{f''(\eta)<-2}
⑧为什么不用“最大点二阶导数非正”就结束
内点最大值通常只给 F′′≤0\text{内点最大值通常只给 }F''\le0
题目要严格小于 −2；先找两边一正一负的一阶导数，再作差商，就能保留严格负号。
目标常数→补二次项→端点归零→面积给正值→两侧斜率\text{目标常数}\to\text{补二次项}\to\text{端点归零}\to\text{面积给正值}\to\text{两侧斜率}
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