积分中点不等式与二阶导数：双向证明

第二视角 · 中值定理与证明题第 29 项 / 1—4

29　积分中点不等式与二阶导数：双向证明

f\in C^2(\mathbb R)

；不等式须对任意

a<b

成立，

c=\frac{a+b}{2}

。

f''\ge0\text{ 在 }\mathbb R\text{ 上}\iff\forall a<b:\quad f(\frac{a+b}{2})\le\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx

①读题：当且仅当，必须拆成两个方向

\ringG{f''\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad\ringB{f(\tfrac{a+b}{2})\le\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\ \ (\forall a<b)}

正向用切线下界；反向把任意小区间缩到一个点，用二阶项读取曲率。

②正向：以中点作切线

c=\frac{a+b}{2},\quad f''\ge0\Longrightarrow f'\text{ 不减}

f(x)\ge f(c)+f'(c)(x-c)

该式可由拉格朗日分别检查 x>c、x<c 时的乘数符号得到；在 c 处为等号。

第二视角 · 中值定理与证明题第 29 项 / 2—4

③积分时，一次项为什么消失

\int_a^b(x-c)\,dx=\left[\frac{(x-c)^2}{2}\right]_a^b=0

\int_a^bf(x)\,dx\ge(b-a)f(c)+f'(c)\cdot0

\boxed{f(c)\le\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx}

④反向：为什么一定要“任意区间”

固定任意 c，取对称小区间 [c−h,c+h]，h>0。

0\le\frac1{2h}\int_{c-h}^{c+h}f(x)\,dx-f(c)

x=c+t\Longrightarrow0\le\frac1{2h}\int_{-h}^{h}[f(c+t)-f(c)]\,dt

若不等式只在某个固定区间成立，不能任意缩小到 c。

第二视角 · 中值定理与证明题第 29 项 / 3—4

⑤局部泰勒与逐项积分

f(c+t)=f(c)+f'(c)t+\tfrac12f''(c)t^2+r(t),\quad r(t)=o(t^2)

\int_{-h}^ht\,dt=0,\qquad\int_{-h}^ht^2\,dt=\frac{2h^3}{3}

\frac1{2h}\int_{-h}^h[f(c+t)-f(c)]\,dt=\frac{f''(c)}6h^2+\frac1{2h}\int_{-h}^hr(t)\,dt

⑥余项积分为什么仍是 o(h²)

\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\quad |t|\le\delta\Longrightarrow |r(t)|\le\varepsilon t^2

0<h\le\delta\Longrightarrow\left|\frac1{2h}\int_{-h}^hr(t)\,dt\right|\le\frac{\varepsilon}{2h}\frac{2h^3}{3}=\frac\varepsilon3h^2

\frac1{2h}\int_{-h}^hr(t)\,dt=o(h^2)

第二视角 · 中值定理与证明题第 29 项 / 4—4

⑦除以正数再取极限，读出曲率符号

0\le\frac{f''(c)}6h^2+o(h^2)

0\le\frac{f''(c)}6+o(1)\quad(h\downarrow0)

f''(c)\ge0

c 任意，因此 f″在整个实数轴非负；两个方向都已证明。

⑧严格情形与常见误用

f''>0\Longrightarrow f(x)>f(c)+f'(c)(x-c)\quad(x\ne c)

\Longrightarrow f(c)<\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx

这里反向推理用局部 Peano 展开是合法的，因为 h 确实趋于零；不要把它与固定端点的全区间误差界混淆。

对照原解析 · 4 条题源