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第二视角 · 中值定理与证明题第 26 项 / 1—4

26　函数零点与导数零点相乘：制造两个不同的二阶组合零点

ff 在 [0,1][0,1] 二阶可导，f(1)>0f(1)>0，lim⁡x→0+f(x)x=L<0\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=L<0 为有限数。
∃ 0<u<v<1:f(u)f′′(u)+[f′(u)]2=f(v)f′′(v)+[f′(v)]2=0\exists\ 0<u<v<1:\quad f(u)f''(u)+[f'(u)]^2=f(v)f''(v)+[f'(v)]^2=0
①读题：二阶组合里有乘积导数
f(x)f′′(x)+[f′(x)]2=[f(x)f′(x)]′\ringG{f(x)f''(x)+[f'(x)]^2}=[f(x)f'(x)]'
[f(x)2]′=2f(x)f′(x)[f(x)^2]'=2f(x)f'(x)
可以直接把 ff′设为辅助函数；目标是它的导数有两个不同零点。
②极限条件先给端点零值与附近负号
lim⁡x→0+f(x)x=L<0\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}x=L<0
f(x)=xf(x)x→0⟹f(0)=0f(x)=x\frac{f(x)}x\to0\Longrightarrow f(0)=0
∃δ>0:0<x<δ⟹f(x)x<L2<0\exists\delta>0:\quad0<x<\delta\Longrightarrow\frac{f(x)}x<\frac L2<0
f(x)<0(0<x<δ)f(x)<0\quad(0<x<\delta)
第一步还用了 f 在端点连续；题设闭区间二阶可导足以保证。
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③介值产生第二个函数零点
0<d<min⁡(δ,1),f(d)<0<f(1)0<d<\min(\delta,1),\quad f(d)<0<f(1)
f 在 [d,1] 连续，介值定理给
∃c∈(d,1):f(c)=0\exists c\in(d,1):f(c)=0
f(0)=f(c)=0f(0)=f(c)=0
④先对 f 用一次罗尔，制造一个导数零点
f 在 [0,c] 连续、内部可导。
∃ξ∈(0,c):f′(ξ)=0\exists\xi\in(0,c):f'(\xi)=0
f(0)=0⏟函数零点,f′(ξ)=0⏟导数零点,f(c)=0⏟函数零点\underbrace{f(0)=0}_{\text{函数零点}},\quad\underbrace{f'(\xi)=0}_{\text{导数零点}},\quad\underbrace{f(c)=0}_{\text{函数零点}}
三处零点来自不同原因；相乘就能统一起来。
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⑤辅助函数直接用乘积，少添一层字母
F(x)=f(x)f′(x)F(x)=f(x)f'(x)
F(0)=0,F(ξ)=0,F(c)=0F(0)=0,\quad F(\xi)=0,\quad F(c)=0
F′(x)=[f′(x)]2+f(x)f′′(x)F'(x)=[f'(x)]^2+f(x)f''(x)
闭区间二阶可导保证 F 在 [0,c] 连续、内部可导；这时才可以继续使用罗尔。
⑥分别在两段用罗尔，确保两个不同的根
∃u∈(0,ξ):F′(u)=0\exists u\in(0,\xi):F'(u)=0
∃v∈(ξ,c):F′(v)=0\exists v\in(\xi,c):F'(v)=0
0<u<ξ<v<c<10<u<\xi<v<c<1
f(u)f′′(u)+[f′(u)]2=0\boxed{f(u)f''(u)+[f'(u)]^2=0}
f(v)f′′(v)+[f′(v)]2=0\boxed{f(v)f''(v)+[f'(v)]^2=0}
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⑦平方函数入口与乘积入口等价
G(x)=f(x)2⟹G′(x)=2F(x)G(x)=f(x)^2\Longrightarrow G'(x)=2F(x)
G′′(x)=2F′(x)=2{[f′(x)]2+f(x)f′′(x)}G''(x)=2F'(x)=2\{[f'(x)]^2+f(x)f''(x)\}
若看见平方更容易联想，也可以走这条路；核心仍是让 G′在 0、ξ、c 三点为零。
⑧次数、点与真正用到的条件
先对 f：1 次罗尔;再对 ff′：2 次罗尔\text{先对 f：}1\text{ 次罗尔};\quad\text{再对 ff′：}2\text{ 次罗尔}
所以本题总共三次罗尔。后两次分区间调用，才保证结果有两个不同根。
L<0→附近负值;f(1)>0→内部零点;f′′ 存在→F′ 存在L<0\to\text{附近负值};\qquad f(1)>0\to\text{内部零点};\qquad f''\text{ 存在}\to F'\text{ 存在}
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