只有开区间可导：在内部闭区间应用中值定理

第二视角 · 中值定理与证明题第 25 项 / 1—4

25　只有开区间可导：在内部闭区间应用中值定理

f

在

(a,b)

可导，

a<x_1<x_2<b

。

\exists\xi\in(x_1,x_2):\quad f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)

①读题：只有开区间可导，外端点不可直接使用

f\text{ 在 }(a,b)\text{ 可导},\qquad\ringB{a<x_1<x_2<b}

x₁、x₂ 是原开区间的内点；它们可以组成一个新的闭区间。

[x_1,x_2]\subset(a,b)

②拉格朗日的条件逐项对应

f\text{ 在 }(a,b)\text{ 可导}\Longrightarrow f\text{ 在 }(a,b)\text{ 连续}

\Longrightarrow f\text{ 在 }[x_1,x_2]\text{ 连续}

f\text{ 在 }(x_1,x_2)\text{ 可导}

新闭区间的两个端点，已经由原区间内部的可导性保证连续。

第二视角 · 中值定理与证明题第 25 项 / 2—4

③直接应用，得到目标

\exists\xi\in(x_1,x_2):\quad\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi)

\boxed{f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)}

这里根本没使用 f(a)、f(b)，它们甚至可以没有定义。

④如果要改成罗尔，辅助函数怎样来

f'(\xi)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0

常数导数对应一次项；再让左端归零

F(x)=f(x)-f(x_1)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)

第二视角 · 中值定理与证明题第 25 项 / 3—4

⑤两个端点逐个代入

F(x_1)=f(x_1)-f(x_1)-0=0

F(x_2)=f(x_2)-f(x_1)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x_2-x_1)=0

x₂−x₁>0，分母合法。

⑥罗尔路线的收尾

F 在 [x₁,x₂] 连续，在内部可导；两端为零。

\exists\xi\in(x_1,x_2):F'(\xi)=0

f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

这也解释了拉格朗日定理为何可以由罗尔定理推出来。

第二视角 · 中值定理与证明题第 25 项 / 4—4

⑦把内部区间擅自放大到 [a,b] 会出错

f(x)=0\ (0<x<1),\quad f(0)=1,\ f(1)=2

f'(x)=0\quad(0<x<1)

f(1)-f(0)=1\ne f'(\xi)(1-0)=0

错误发生在外端点连续性缺失；不是中值定理本身失效。

⑧可直接执行的下一步

\text{只给开区间可导}\quad\longrightarrow\quad\text{先任取两个内点}

a<x_1<x_2<b\quad\longrightarrow\quad\text{在 }[x_1,x_2]\text{ 上用定理}

要把结果延伸到外端点，必须再证明或使用相应极限与端点连续性。

对照原解析 · 2 条题源