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第二视角 · 中值定理与证明题第 24 项 / 1—4

24　增量与微分比较：两侧中值点和乘数符号

ff 在开区间二阶可导；首分支 f′>0,f′′>0f'>0,f''>0；第二分支 f′f' 严格递减且 f(1)=f′(1)=1f(1)=f'(1)=1。
h>0: 0<dy<Δy;h<0: dy<Δy<0h>0:\ 0<\mathrm dy<\Delta y;\quad h<0:\ \mathrm dy<\Delta y<0
①读题：增量与微分的差，先写原定义
Δy=f(x+h)−f(x),dy=f′(x)h\ringB{\Delta y=f(x+h)-f(x)},\quad\ringG{dy=f'(x)h}
f′>0,f′′>0,h≠0f'>0,\quad f''>0,\quad h\ne0
x、x+h 及连接它们的区间都要在定义域内。
②第一次拉格朗日：把增量也写成导数乘 h
Δy=f′(ξ)h,ξ 严格位于 x 与 x+h 之间\Delta y=f'(\xi)h,\quad\xi\text{ 严格位于 }x\text{ 与 }x+h\text{ 之间}
Δy−dy=[f′(ξ)−f′(x)]h\Delta y-dy=[f'(\xi)-f'(x)]h
现在未知量只有两个一阶导数的差；题给二阶导数正，继续对 f′使用定理。
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③第二次拉格朗日：同号的两个因子
f′(ξ)−f′(x)=f′′(η)(ξ−x)f'(\xi)-f'(x)=f''(\eta)(\xi-x)
Δy−dy=f′′(η)(ξ−x)h\Delta y-dy=f''(\eta)(\xi-x)h
h>0⇒ξ−x>0;h<0⇒ξ−x<0h>0\Rightarrow\xi-x>0;\qquad h<0\Rightarrow\xi-x<0
f′′(η)>0,(ξ−x)h>0⟹Δy>dyf''(\eta)>0,\quad(\xi-x)h>0\Longrightarrow\Delta y>dy
④正增量分支：补上与零的比较
h>0, f′(x)>0⟹dy=f′(x)h>0h>0,\ f'(x)>0\Longrightarrow dy=f'(x)h>0
Δy>dy⟹0<dy<Δy\Delta y>dy\Longrightarrow\boxed{0<dy<\Delta y}
函数值的增加量比切线预测的增加量大。
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⑤负增量分支：负数乘法别漏掉
h<0, f′(ξ)>0⟹Δy=f′(ξ)h<0h<0,\ f'(\xi)>0\Longrightarrow\Delta y=f'(\xi)h<0
Δy>dy⟹dy<Δy<0\Delta y>dy\Longrightarrow\boxed{dy<\Delta y<0}
这里两者都为负；大小顺序不能照搬正增量那一行。
⑥另一个分支：导数递减，函数在切线下方
另设 f′严格递减，且 f(1)=f′(1)=1。
f(x)−f(1)=f′(ξ)(x−1)f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)
f(x)−x=[f′(ξ)−1](x−1)=[f′(ξ)−f′(1)](x−1)f(x)-x=[f'(\xi)-1](x-1)=[f'(\xi)-f'(1)](x-1)
没有新辅助字母；直接减去切线 y=x。
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⑦左右分支各查一次符号
x<1: x<ξ<1,f′(ξ)>1,x−1<0⟹f(x)−x<0x<1:\ x<\xi<1,\quad f'(\xi)>1,\quad x-1<0\Longrightarrow f(x)-x<0
x>1: 1<ξ<x,f′(ξ)<1,x−1>0⟹f(x)−x<0x>1:\ 1<\xi<x,\quad f'(\xi)<1,\quad x-1>0\Longrightarrow f(x)-x<0
x≠1⟹f(x)<x;f(1)=1\boxed{x\ne1\Longrightarrow f(x)<x};\qquad f(1)=1
⑧不能把 f′严格递减写成 f″处处严格负
f(x)=x−(x−1)4f(x)=x-(x-1)^4
f′(x)=1−4(x−1)3 严格递减f'(x)=1-4(x-1)^3\text{ 严格递减}
f′′(x)=−12(x−1)2,f′′(1)=0f''(x)=-12(x-1)^2,\quad f''(1)=0
第二分支只用一阶导数的严格次序，既不需要也不能擅加 f″<0。
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