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第二视角 · 中值定理与证明题第 23 项 / 1—4

23　两个中值定理点的导数比：公共割线差消去

f∈C[a,b]f\in C[a,b]，在 (a,b)(a,b) 可导且 f′≠0f'\ne0，a<ba<b。
∃ξ,η∈(a,b):f′(ξ)f′(η)=eb−eab−ae−η\exists\xi,\eta\in(a,b):\quad\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}
①读题：指数增量与区间长度分开圈
f′(ξ)f′(η)=eb−eab−ae−η\ringR{\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}}=\ringB{\frac{e^b-e^a}{b-a}}\ringG{e^{-\eta}}
b−a↔x,eb−ea↔ex,e−η=1eηb-a\leftrightarrow x,\qquad e^b-e^a\leftrightarrow e^x,\qquad e^{-\eta}=\frac1{e^\eta}
允许两个点，因此可以用两个定理分别产生它们。
②从相除结果倒推两个等式
f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′(η)=f(b)−f(a)eb−eaeηf'(\eta)=\frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a}e^\eta
共同的端点差会约去；第一式选拉格朗日，第二式选 f 与 eˣ 的柯西。先作为寻找路线的目标，后面分别证明。
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③第一次定理同时证明端点增量非零
f 在 [a,b] 连续、内部可导；拉格朗日给
∃ξ∈(a,b):f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)\exists\xi\in(a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
f′(ξ)≠0,b−a>0⟹f(b)−f(a)≠0f'(\xi)\ne0,\quad b-a>0\Longrightarrow\red{f(b)-f(a)\ne0}
f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
④第二次：柯西先写交叉形式
f 与 eˣ 都满足闭区间连续、开区间可导。
∃η∈(a,b):[f(b)−f(a)]eη=(eb−ea)f′(η)\exists\eta\in(a,b):[f(b)-f(a)]e^\eta=(e^b-e^a)f'(\eta)
eb−ea>0⟹f′(η)=[f(b)−f(a)]eηeb−eae^b-e^a>0\Longrightarrow f'(\eta)=\frac{[f(b)-f(a)]e^\eta}{e^b-e^a}
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⑤约分之前列齐非零依据
b−a>0,eb−ea>0,eη>0b-a>0,\quad e^b-e^a>0,\quad e^\eta>0
f′(η)≠0 由题设;f(b)−f(a)≠0 已证明f'(\eta)\ne0\ \text{由题设};\quad f(b)-f(a)\ne0\ \text{已证明}
这些条件保证相除与约去共同端点差合法；不需要知道 f′正还是负。
⑥完整相除：除以分数改成乘倒数
f′(ξ)f′(η)=f(b)−f(a)b−a÷[f(b)−f(a)]eηeb−ea\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\div\frac{[f(b)-f(a)]e^\eta}{e^b-e^a}
=f(b)−f(a)b−a⋅eb−ea[f(b)−f(a)]eη=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\frac{e^b-e^a}{[f(b)-f(a)]e^\eta}
=eb−ea(b−a)eη=eb−eab−ae−η=\frac{e^b-e^a}{(b-a)e^\eta}=\boxed{\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}}
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⑦辅助函数入口：两个归一化因子
x−ab−a: a↦0,b↦1;ex−eaeb−ea: a↦0,b↦1\frac{x-a}{b-a}:\ a\mapsto0,b\mapsto1;\qquad\frac{e^x-e^a}{e^b-e^a}:\ a\mapsto0,b\mapsto1
F(x)=f(x)−f(a)−[f(b)−f(a)]x−ab−aF(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]\frac{x-a}{b-a}
G(x)=f(x)−f(a)−[f(b)−f(a)]ex−eaeb−eaG(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]\frac{e^x-e^a}{e^b-e^a}
F(a)=F(b)=G(a)=G(b)=0F(a)=F(b)=G(a)=G(b)=0
各自连续可导，分别用罗尔得 F′(ξ)=0、G′(η)=0，即前面两条等式；再按第⑥步相除。
⑧检查点的位置，不要加题目没要求的限制
ξ,η∈(a,b)可同可异，无须排序\xi,\eta\in(a,b)\quad\text{可同可异，无须排序}
f(x)=x:1=eb−eab−ae−ηf(x)=x:\quad1=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}
eη=eb−eab−ae^\eta=\frac{e^b-e^a}{b-a}
对 eˣ 用拉格朗日，恰好保证这个 η 存在。
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