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22　两端泰勒相加相减与内部高阶导数点

a>0a>0；二阶结论要求 f∈C2[−a,a]f\in C^2[-a,a]，三阶结论要求 f∈C3[−a,a]f\in C^3[-a,a]。
∃ξ∈(−a,a):f′′(ξ)=f(a)+f(−a)−2f(0)a2\exists\xi\in(-a,a):\quad f''(\xi)=\frac{f(a)+f(-a)-2f(0)}{a^2}
①读题：对称端点提示加减消项
f(a)+f(−a)−2f(0)→消一次项\ringB{f(a)+f(-a)-2f(0)}\to\text{消一次项}
f(a)−f(−a)−2af′(0)→消常数与二次项\ringB{f(a)-f(-a)-2af'(0)}\to\text{消常数与二次项}
二阶结论设 f∈C²[−a,a]；三阶结论设 f∈C³[−a,a]，a>0。
②二阶：以 0 为中心的两次泰勒
f(a)=f(0)+af′(0)+a22f′′(ξ+),0<ξ+<af(a)=f(0)+af'(0)+\frac{a^2}{2}f''(\xi_+),\quad0<\xi_+<a
f(−a)=f(0)−af′(0)+a22f′′(ξ−),−a<ξ−<0f(-a)=f(0)-af'(0)+\frac{a^2}{2}f''(\xi_-),\quad-a<\xi_-<0
相加，再减 2f(0)
f(a)+f(−a)−2f(0)a2=f′′(ξ+)+f′′(ξ−)2\frac{f(a)+f(-a)-2f(0)}{a^2}=\frac{f''(\xi_+)+f''(\xi_-)}2
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③两个余项点怎样变成一个点
min⁡{f′′(ξ−),f′′(ξ+)}≤f′′(ξ−)+f′′(ξ+)2≤max⁡{f′′(ξ−),f′′(ξ+)}\min\{f''(\xi_-),f''(\xi_+)\}\le\frac{f''(\xi_-)+f''(\xi_+)}2\le\max\{f''(\xi_-),f''(\xi_+)\}
f″连续，在 [ξ₋,ξ₊] 上用介值定理。两端都严格位于 (−a,a) 内。
∃ξ∈[ξ−,ξ+]⊂(−a,a):f′′(ξ)=f′′(ξ−)+f′′(ξ+)2\exists\xi\in[\xi_-,\xi_+]\subset(-a,a):\quad f''(\xi)=\frac{f''(\xi_-)+f''(\xi_+)}2
f′′(ξ)=f(a)+f(−a)−2f(0)a2\boxed{f''(\xi)=\frac{f(a)+f(-a)-2f(0)}{a^2}}
④三阶：先把 ±a 的符号展开
f(a)=f(0)+af′(0)+a22f′′(0)+a36f(3)(η+)f(a)=f(0)+af'(0)+\frac{a^2}{2}f''(0)+\frac{a^3}{6}f^{(3)}(\eta_+)
f(−a)=f(0)−af′(0)+a22f′′(0)−a36f(3)(η−)f(-a)=f(0)-af'(0)+\frac{a^2}{2}f''(0)-\frac{a^3}{6}f^{(3)}(\eta_-)
−a<η−<0<η+<a-a<\eta_-<0<\eta_+<a
第一式减第二式；两个三阶余项变成相加
f(a)−f(−a)−2af′(0)=a36[f(3)(η+)+f(3)(η−)]f(a)-f(-a)-2af'(0)=\frac{a^3}{6}[f^{(3)}(\eta_+)+f^{(3)}(\eta_-)]
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⑤三阶也用连续介值合并
∃η∈[η−,η+]:f(3)(η)=f(3)(η+)+f(3)(η−)2\exists\eta\in[\eta_-,\eta_+]:\quad f^{(3)}(\eta)=\frac{f^{(3)}(\eta_+)+f^{(3)}(\eta_-)}2
f(3)(η)=3[f(a)−f(−a)−2af′(0)]a3\boxed{f^{(3)}(\eta)=\frac{3[f(a)-f(-a)-2af'(0)]}{a^3}}
a=1, f(−1)=0, f(1)=1, f′(0)=0⟹f(3)(η)=3a=1,\ f(-1)=0,\ f(1)=1,\ f'(0)=0\Longrightarrow f^{(3)}(\eta)=3
⑥若给内部极值点，为什么改在它处展开
另设 c∈(−a,a) 为极值点；费马给 f′(c)=0。
f(a)−f(c)=12(a−c)2f′′(η+)f(a)-f(c)=\tfrac12(a-c)^2f''(\eta_+)
f(−a)−f(c)=12(a+c)2f′′(η−)f(-a)-f(c)=\tfrac12(a+c)^2f''(\eta_-)
c<η+<a,−a<η−<cc<\eta_+<a,\quad-a<\eta_-<c
一次项由驻点条件直接消失。
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⑦需要一个内部点控制绝对值时，选较大的余项
在 η₊、η₋ 中选一个记为 η，使其二阶导数绝对值较大。
∣f(a)−f(−a)∣≤12[(a−c)2+(a+c)2]∣f′′(η)∣|f(a)-f(-a)|\le\tfrac12[(a-c)^2+(a+c)^2]|f''(\eta)|
12[(a−c)2+(a+c)2]=a2+c2≤2a2\tfrac12[(a-c)^2+(a+c)^2]=a^2+c^2\le2a^2
∣f(a)−f(−a)∣≤2a2∣f′′(η)∣,η∈(−a,a)|f(a)-f(-a)|\le2a^2|f''(\eta)|,\quad\eta\in(-a,a)
⑧三种操作，不要混为一谈
相加或相减：消去不需要的低阶项\text{相加或相减：消去不需要的低阶项}
连续介值：把两个导数值的平均变成一个导数值\text{连续介值：把两个导数值的平均变成一个导数值}
取较大绝对值：把两项估计统一由一个内点控制\text{取较大绝对值：把两项估计统一由一个内点控制}
这里使用的是精确余项；只写局部 Peano 展开，无法直接获得给定端点之间的精确中值等式。
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