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第二视角 · 中值定理与证明题第 21 项 / 1—4

21　递增凸函数的切线与零点之间的位置

f∈C2[a,∞)f\in C^2[a,\infty)，f(a)=0,f′>0,f′′>0f(a)=0,f'>0,f''>0，b>ab>a。
x0=b−f(b)f′(b)⇒a<x0<bx_0=b-\frac{f(b)}{f'(b)}\Rightarrow a<x_0<b
①读题：横截距公式是怎么来的
x0=b−f(b)f′(b)\ringR{x_0=b-\frac{f(b)}{f'(b)}}
y=f(b)+f′(b)(x−b),y=0y=f(b)+f'(b)(x-b),\quad y=0
x=b−f(b)f′(b)=x0x=b-\frac{f(b)}{f'(b)}=x_0
这是 b 处切线与横轴的交点；目标是 a<x₀<b。
②从目标倒推要估计的分式
a<b−f(b)f′(b)<ba<b-\frac{f(b)}{f'(b)}<b
⟺0<f(b)f′(b)<b−a\Longleftrightarrow0<\frac{f(b)}{f'(b)}<b-a
此处只是移项，不需要先乘未知符号。下一步用 f′>0 确认分母为正。
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③第一次拉格朗日：把函数值换成一阶导数
f(a)=0f(a)=0
f 在 [a,b] 连续、内部可导。
∃ξ∈(a,b):f(b)=f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)\exists\xi\in(a,b):\quad f(b)=f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
f′(ξ)>0, b−a>0⟹f(b)>0f'(\xi)>0,\ b-a>0\Longrightarrow f(b)>0
④第二次拉格朗日：用凸性比较两个导数
f′在 [ξ,b] 连续、内部可导。
f′(b)−f′(ξ)=f′′(η)(b−ξ),ξ<η<bf'(b)-f'(\xi)=f''(\eta)(b-\xi),\quad\xi<\eta<b
f′′(η)>0, b−ξ>0⟹f′(b)>f′(ξ)>0f''(\eta)>0,\ b-\xi>0\Longrightarrow f'(b)>f'(\xi)>0
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⑤两条式子接起来，得到目标分式范围
0<f′(ξ)f′(b)<10<\frac{f'(\xi)}{f'(b)}<1
乘以正数 b−a
0<(b−a)f′(ξ)f′(b)<b−a0<\frac{(b-a)f'(\xi)}{f'(b)}<b-a
0<f(b)f′(b)<b−a\boxed{0<\frac{f(b)}{f'(b)}<b-a}
⑥最后减法要逐端写清
f(b)f′(b)>0⟹b−f(b)f′(b)<b\frac{f(b)}{f'(b)}>0\Longrightarrow b-\frac{f(b)}{f'(b)}<b
f(b)f′(b)<b−a⟹b−f(b)f′(b)>a\frac{f(b)}{f'(b)}<b-a\Longrightarrow b-\frac{f(b)}{f'(b)}>a
a<x0<b\boxed{a<x_0<b}
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⑦另一入口：严格凸函数在切线上方
f(a)>f(b)+f′(b)(a−b)f(a)>f(b)+f'(b)(a-b)
f(a)=0⟹f(b)<f′(b)(b−a)f(a)=0\Longrightarrow f(b)<f'(b)(b-a)
再用 f(b)>0、f′(b)>0，就恢复同一个分式夹逼。
若尚未掌握切线不等式，前面的两次拉格朗日就是它在本题中的直接证明。
⑧为什么要严格凸，而不只要求凸
f(x)=x−a:f′(x)=1,f′′(x)=0f(x)=x-a:\quad f'(x)=1,\quad f''(x)=0
x0=b−b−a1=ax_0=b-\frac{b-a}{1}=a
只有非严格凸时，交点可能落在左端，不能保证 a<x₀。
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