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第二视角 · 中值定理与证明题第 20 项 / 1—4

20　唯一实根：导数正证明唯一，介值证明存在

第一分支 a,b,c∈R,5b>3a2a,b,c\in\mathbb R,5b>3a^2；第二分支 p∈R,0<q<1p\in\mathbb R,0<q<1。
x5+2ax3+3bx+4c=0 与 x+p+qcos⁡x=0 各恰有一实根x^5+2ax^3+3bx+4c=0\text{ 与 }x+p+q\cos x=0\text{ 各恰有一实根}
①读题：“恰有一个实根”含两个任务
存在+至多一个\ringR{\text{存在}}\quad+\quad\ringR{\text{至多一个}}
异号端点→介值;严格单调→唯一\text{异号端点}\to\text{介值};\qquad\text{严格单调}\to\text{唯一}
导数恒正只能排除两根，不能单独保证存在。
②多项式条件 5b>3a² 怎样进入导数
F(x)=x5+2ax3+3bx+4cF(x)=x^5+2ax^3+3bx+4c
F′(x)=5x4+6ax2+3bF'(x)=5x^4+6ax^2+3b
把它看成关于 x² 的二次式，配平方
F′(x)=5(x2+3a5)2+3(5b−3a2)5>0F'(x)=5\left(x^2+\frac{3a}{5}\right)^2+\frac{3(5b-3a^2)}5>0
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③唯一性的完整证明
F 在任意有限闭区间连续、内部可导。若 u<v 是两根，
0=F(v)−F(u)=F′(ξ)(v−u)>0(u<ξ<v)0=F(v)-F(u)=F'(\xi)(v-u)>0\quad(u<\xi<v)
矛盾，所以至多一个根。也可对两根之间直接用罗尔与 F′>0 矛盾。
④存在性的完整证明
lim⁡x→+∞F(x)=+∞,lim⁡x→−∞F(x)=−∞\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to-\infty}F(x)=-\infty
∃R>0:F(−R)<0<F(R)\exists R>0:\quad F(-R)<0<F(R)
F 在 [−R,R] 连续，介值定理给内部零点。
x5+2ax3+3bx+4c=0 恰有一个实根\boxed{x^5+2ax^3+3bx+4c=0\text{ 恰有一个实根}}
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⑤带三角函数的另一题：先看幅度界
G(x)=x+p+qcos⁡x,0<q<1G(x)=x+p+q\cos x,\quad0<q<1
G′(x)=1−qsin⁡x≥1−q>0G'(x)=1-q\sin x\ge1-q>0
与上一题同理，拉格朗日或罗尔排除两个不同根。
⑥端点从 |q cos x|≤q 反推
u=−p−q−1,v=−p+q+1u=-p-q-1,\qquad v=-p+q+1
G(u)=−q−1+qcos⁡u≤−1<0G(u)=-q-1+q\cos u\le-1<0
G(v)=q+1+qcos⁡v≥1>0G(v)=q+1+q\cos v\ge1>0
u<v→介值∃ξ∈(u,v):G(ξ)=0u<v\quad\xrightarrow{\text{介值}}\quad\exists\xi\in(u,v):G(\xi)=0
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⑦参数的角色分别是什么
5b>3a2→F′>0;4c→纵向平移5b>3a^2\to F'>0;\qquad4c\to\text{纵向平移}
0<q<1→1−qsin⁡x>0;p→改变根的位置0<q<1\to1-q\sin x>0;\qquad p\to\text{改变根的位置}
常数项不进入导数，但仍影响根在哪里；不能因为求导消失，就说它不影响方程。
⑧检查“只单调”这一漏洞
H(x)=ex:H′(x)>0,H(x)>0 对所有实数 xH(x)=e^x:\quad H'(x)>0,\quad H(x)>0\text{ 对所有实数 x}
严格递增，却没有实零点。每个“唯一根”证明都要明确写出一次存在性依据。
先找异号端点，再排除两根；顺序也可交换，但两步都要有。\boxed{\text{先找异号端点，再排除两根；顺序也可交换，但两步都要有。}}
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