对数不等式：交叉相乘、无量纲换元和导数下界

第二视角 · 中值定理与证明题第 19 项 / 1—4

19　对数不等式：交叉相乘、无量纲换元和导数下界

第一分支

x>1

；差商分支

0<a<b

；参数分支

x>0,k\ge\ln2-1

。

\frac{\ln(1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x};\qquad\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1{\sqrt{ab}}

①第一类读题：分母有对数，先核对符号

x>1:\quad\ringR{\frac{\ln(1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}}

(1+x)\ln x>0

\Longleftrightarrow (1+x)\ln(1+x)-x\ln x>0

交叉相乘先过“正分母”这一关，再把差叫作 F。

②辅助函数求导：相同常数项自动抵消

F(x)=(1+x)\ln(1+x)-x\ln x

F'(x)=\ln(1+x)+1-\ln x-1=\ln\left(1+\frac1x\right)>0

F(x)>F(1)=2\ln2>0\quad(x>1)

F 连续可导；对 [1,x] 用拉格朗日得严格递增，再除回正分母即得第一类结论。

第二视角 · 中值定理与证明题第 19 项 / 2—4

③差商下界：拉格朗日能直接做到哪一步

0<a<b:\quad\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac1\xi,\quad a<\xi<b

\frac1\xi>\frac1b

\frac1b-\frac{2a}{a^2+b^2}=\frac{(b-a)^2}{b(a^2+b^2)}>0

\boxed{\frac{\ln b-\ln a}{b-a}>\frac{2a}{a^2+b^2}}

④差商上界：中值点位于中间仍然不够

\text{目标：}\quad\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1{\sqrt{ab}}

仅有 a<ξ<b，不能推出 ξ>√ab。换用目标本身提示的平方根比例。

u=\sqrt{\frac ba}>1,\quad b=au^2,\quad\sqrt{ab}=au

\frac{2\ln u}{a(u^2-1)}<\frac1{au}\Longleftrightarrow2\ln u<u-\frac1u

第二视角 · 中值定理与证明题第 19 项 / 3—4

⑤上界的辅助函数来自移项

G(u)=u-\frac1u-2\ln u,\quad G(1)=0

G'(u)=1+\frac1{u^2}-\frac2u=\frac{(u-1)^2}{u^2}>0\quad(u>1)

G(u)>G(1)=0

\boxed{\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac1{\sqrt{ab}}}

⑥参数分支：让导数分子出现一个可求的最小值

F(x)=x-\ln^2x+2k\ln x-1,\quad F(1)=0

F'(x)=1-\frac{2\ln x}x+\frac{2k}x=\frac{x-2\ln x+2k}{x}

(x-2\ln x)'=\frac{x-2}x

x>0；在 (0,2) 递减、(2,∞) 递增，所以

x-2\ln x\ge2-2\ln2

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⑦参数怎样保证整个函数单调

k\ge\ln2-1\Longrightarrow x-2\ln x+2k\ge0

F'(x)\ge0\quad(x>0)

x>1:\ F(x)\ge0;\qquad0<x<1:\ F(x)\le0

\boxed{(x-1)[x-\ln^2x+2k\ln x-1]\ge0}

这里给的是充分条件；没有证明参数范围的必要性，不标为“当且仅当”。

⑧三个入口各自对应什么结构

\text{分式大小}\to\text{核对分母符号}\to\text{移项作差}

\text{对数差商}\to\text{拉格朗日；过不去的更强界另作差}

\text{含参数导数}\to\text{分子最小值}\to\text{参数下界}

换元的 u 是一个正比例，降低两个参数的复杂度；不是看到对数就必须换元。

对照原解析 · 3 条题源