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第二视角 · 中值定理与证明题第 27 项 / 1—4

27　积分平均值制造罗尔定理端点

f∈C[0,1]f\in C[0,1]且在(0,1)(0,1)可导；0<a<b≤10<a<b\le1。
1b−a∫abf(x) dx=f(0),0<a<b≤1⟹∃ξ∈(0,1):f′(ξ)=0\begin{aligned}&\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx=f(0),\quad0<a<b\le1\\&\Longrightarrow\quad\exists\xi\in(0,1):f'(\xi)=0\end{aligned}
①读题：积分平均值等于一个已知函数值
1b−a∫abf(x) dx=f(0),0<a<b≤1\ringB{\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx=f(0)},\quad0<a<b\le1
目标：f′(ξ)=0\text{目标：}\quad f'(\xi)=0
倒推罗尔：先找与 0 等高的另一个点
f(t)=f(0),t>0f(t)=f(0),\quad t>0
②选积分中值，再选罗尔
f 连续→平均值介于最小值与最大值之间f\text{ 连续}\to\text{平均值介于最小值与最大值之间}
介值→f(t)=平均值→f(t)=f(0)\text{介值}\to f(t)=\text{平均值}\to f(t)=f(0)
本分支 t≥a>0，已经保证 t≠0；即使 t=a 或 t=b，也不妨碍下一次罗尔。
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③把积分中值的来由写出来
m=min⁡[a,b]f,M=max⁡[a,b]fm=\min_{[a,b]}f,\quad M=\max_{[a,b]}f
m≤f(x)≤M⟹m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m\le f(x)\le M\Longrightarrow m(b-a)\le\int_a^bf(x)\,dx\le M(b-a)
m≤1b−a∫abf≤Mm\le\frac1{b-a}\int_a^bf\le M
连续函数取到 m、M，并取到它们之间的值。
∃t∈[a,b]:f(t)=f(0)\exists t\in[a,b]:f(t)=f(0)
④完整收尾：在新的区间使用罗尔
0<a≤t≤1⟹t>00<a\le t\le1\Longrightarrow t>0
f 在 [0,t] 连续，在 (0,t) 可导，且 f(0)=f(t)。
∃ξ∈(0,t)⊂(0,1):f′(ξ)=0\exists\xi\in(0,t)\subset(0,1):\quad\boxed{f'(\xi)=0}
a=23, b=1:1b−a∫abf=3∫231fa=\tfrac23,\ b=1:\quad\frac1{b-a}\int_a^bf=3\int_{\frac23}^1f
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⑤端点就在积分区间上时：换变上限构造
另一常见条件：f 在 [a,b] 连续、内部可导，平均值等于 f(b)。
1b−a∫abf=f(b)⟺∫ab[f(t)−f(b)] dt=0\frac1{b-a}\int_a^bf=f(b)\Longleftrightarrow\int_a^b[f(t)-f(b)]\,dt=0
F(x)=∫ax[f(t)−f(b)] dtF(x)=\int_a^x[f(t)-f(b)]\,dt
F(a)=F(b)=0,F′(x)=f(x)−f(b)F(a)=F(b)=0,\quad F'(x)=f(x)-f(b)
⑥两次罗尔：先找内点，再找导数零点
F 连续可导，第一次在 [a,b] 用罗尔。
∃η∈(a,b):F′(η)=0⟹f(η)=f(b)\exists\eta\in(a,b):F'(\eta)=0\Longrightarrow f(\eta)=f(b)
第二次对 f 在 [η,b] 用罗尔。
∃ξ∈(η,b):f′(ξ)=0\exists\xi\in(\eta,b):\quad f'(\xi)=0
a<η<ξ<ba<\eta<\xi<b
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⑦为什么不能直接断言 f(a)=f(b)
f(x)=x2−43x,[0,1]f(x)=x^2-\tfrac43x,\quad[0,1]
∫01f=13−23=−13=f(1),f(0)=0≠f(1)\int_0^1f=\tfrac13-\tfrac23=-\tfrac13=f(1),\quad f(0)=0\ne f(1)
f(13)=f(1),f′(23)=0f(\tfrac13)=f(1),\qquad f'(\tfrac23)=0
题设只把平均值与右端联系起来；另一等高点要通过上面的构造得到。
⑧相同外形下，必须确认两个点确实不同
f(x)=x:∫01f(x) dx=12=f(12),f′≡1f(x)=x:\quad\int_0^1f(x)\,dx=\tfrac12=f(\tfrac12),\quad f'\equiv1
平均值等于内部某点值，不自动保证导数有零点。
积分区间外的已知点→点的位置分离;积分端点→变上限积分造内点\text{积分区间外的已知点}\to\text{点的位置分离};\quad\text{积分端点}\to\text{变上限积分造内点}
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