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第二视角 · 中值定理与证明题第 14 项 / 1—4

14　中间交点把两段割线斜率变成倒数

ff 在 [0,1][0,1] 连续，在 (0,1)(0,1) 可导，f(0)=0,f(1)=1f(0)=0,f(1)=1。
∃ 0<u<c<v<1:f(c)=1−c,f′(u)f′(v)=1\exists\ 0<u<c<v<1:\quad f(c)=1-c,\qquad f'(u)f'(v)=1
①读题：两个导数相乘等于 1
f′(u)f′(v)=1,f(0)=0, f(1)=1\ringR{f'(u)f'(v)=1},\quad\ringB{f(0)=0,\ f(1)=1}
两个斜率互为倒数⟶1−cc⋅c1−c\text{两个斜率互为倒数}\quad\longrightarrow\quad\frac{1-c}{c}\cdot\frac{c}{1-c}
要同时制造两个不同的点，先把区间分成不相交两段。
②从目标倒推中间点应满足什么
[0,c] 的斜率=f(c)c[0,c]\text{ 的斜率}=\frac{f(c)}c
[c,1] 的斜率=1−f(c)1−c[c,1]\text{ 的斜率}=\frac{1-f(c)}{1-c}
f(c)=1−c⟹f(c)c=1−cc,1−f(c)1−c=c1−cf(c)=1-c\Longrightarrow\frac{f(c)}c=\frac{1-c}c,\quad\frac{1-f(c)}{1-c}=\frac c{1-c}
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③辅助函数从这条交点等式直接移项
f(c)=1−c⟺f(c)+c−1=0f(c)=1-c\Longleftrightarrow f(c)+c-1=0
F(x)=f(x)+x−1F(x)=f(x)+x-1
F(0)=−1,F(1)=1F(0)=-1,\qquad F(1)=1
④选介值先造 c，不能直接假设交点存在
F 在 [0,1] 连续，端点异号。
∃c∈(0,1):F(c)=0\exists c\in(0,1):F(c)=0
f(c)=1−c,c>0, 1−c>0f(c)=1-c,\qquad c>0,\ 1-c>0
c 为内点，也保证接下来所有分母非零。
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⑤左段拉格朗日：产生第一个点
f 在 [0,c] 连续、内部可导。
∃u∈(0,c):f′(u)=f(c)−f(0)c−0\exists u\in(0,c):f'(u)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}
f′(u)=1−ccf'(u)=\frac{1-c}{c}
⑥右段拉格朗日：产生第二个点
f 在 [c,1] 连续、内部可导。
∃v∈(c,1):f′(v)=f(1)−f(c)1−c\exists v\in(c,1):f'(v)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}
f′(v)=1−(1−c)1−c=c1−cf'(v)=\frac{1-(1-c)}{1-c}=\frac c{1-c}
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⑦相乘并核对点确实不同
f′(u)f′(v)=1−cc⋅c1−c=1f'(u)f'(v)=\frac{1-c}{c}\cdot\frac c{1-c}=1
0<u<c<v<1\boxed{0<u<c<v<1}
不相交的两个开区间保证 u≠v；这不是可以省略的附带说明。
⑧为什么一次拉格朗日不够
f′(ξ)=f(1)−f(0)1−0=1f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1
只有一个点，不能把它写两遍来冒充两个不同的点。
f(x)=x2:c2=1−c,c=5−12f(x)=x^2:\quad c^2=1-c,\quad c=\frac{\sqrt5-1}{2}
再分别在 [0,c]、[c,1] 用定理，就沿上述证明产生真正分开的两个点。
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