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第二视角 · 中值定理与证明题第 15 项 / 1—4

15　相同内部最大值：怎样造第三零点，再用两层三次罗尔

f,gf,g 在 [a,b][a,b] 连续，在 (a,b)(a,b) 二阶可导，f(a)=g(a),f(b)=g(b)f(a)=g(a),f(b)=g(b)；相同最大值 MM 分别在内部点 c,d∈(a,b)c,d\in(a,b) 达到。
∃t∈(a,b):f′′(t)=g′′(t)\exists t\in(a,b):\quad f''(t)=g''(t)
①读题：相同最大值不等于同一点取到
f(c)=M,g(d)=M,c,d∈(a,b)\ringB{f(c)=M},\quad\ringB{g(d)=M},\quad c,d\in(a,b)
f(x)≤M,g(x)≤Mf(x)\le M,\quad g(x)\le M
c、d 可以不同；利用各自取最大值，得到差函数的正负信息。
②目标二阶导数相等，先移项
f′′(t)=g′′(t)⟺(f−g)′′(t)=0f''(t)=g''(t)\Longleftrightarrow(f-g)''(t)=0
F(x)=f(x)−g(x)F(x)=f(x)-g(x)
f(a)=g(a), f(b)=g(b)⟹F(a)=F(b)=0f(a)=g(a),\ f(b)=g(b)\Longrightarrow F(a)=F(b)=0
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③还缺第三个零点：最大值条件补在哪里
F(c)=f(c)−g(c)=M−g(c)≥0F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)\ge0
F(d)=f(d)−g(d)=f(d)−M≤0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M\le0
若 c=d，则 F(c)=0；否则继续看两处是否已经出现等号。
④介值给出严格内部的第三零点
F(c)=0 或 F(d)=0⟹∃e∈(a,b):F(e)=0F(c)=0\text{ 或 }F(d)=0\Longrightarrow\exists e\in(a,b):F(e)=0
F(c)>0>F(d)⟹∃e∈(min⁡(c,d),max⁡(c,d)):F(e)=0F(c)>0>F(d)\Longrightarrow\exists e\in(\min(c,d),\max(c,d)):F(e)=0
F(a)=F(e)=F(b)=0F(a)=F(e)=F(b)=0
两种情况都能保证 e 不等于外端点。
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⑤第一层：两段各一次罗尔
F 在 [a,b] 连续，内部二阶可导。
∃ξ1∈(a,e):F′(ξ1)=0\exists\xi_1\in(a,e):F'(\xi_1)=0
∃ξ2∈(e,b):F′(ξ2)=0\exists\xi_2\in(e,b):F'(\xi_2)=0
a<ξ1<e<ξ2<ba<\xi_1<e<\xi_2<b
⑥第二层：再对 F′用罗尔
F′在内部可导，故在 [ξ₁,ξ₂] 连续；端点值同为零。
∃t∈(ξ1,ξ2):F′′(t)=0\exists t\in(\xi_1,\xi_2):F''(t)=0
F′′(t)=f′′(t)−g′′(t)F''(t)=f''(t)-g''(t)
f′′(t)=g′′(t),t∈(a,b)\boxed{f''(t)=g''(t)},\quad t\in(a,b)
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⑦调用次数与条件边界
第一层 2 次 + 第二层 1 次=3 次罗尔\text{第一层 }2\text{ 次}\ +\ \text{第二层 }1\text{ 次}=3\text{ 次罗尔}
最大值必须能在内点取得；若只在端点取到，就可能没有第三个内点零点。
本条按明确补全的“内部取得”条件讲解；原题若条件更弱，要先检查结论，而不是悄悄加条件。
⑧反例：只有同最大值还不够
[a,b]=[0,1],f(x)=x,g(x)=x2[a,b]=[0,1],\qquad f(x)=x,\quad g(x)=x^2
f(0)=g(0)=0,f(1)=g(1)=1,max⁡f=max⁡g=1f(0)=g(0)=0,\quad f(1)=g(1)=1,\quad\max f=\max g=1
f′′=0,g′′=2⟹f′′≠g′′ 处处成立f''=0,\quad g''=2\Longrightarrow f''\ne g''\text{ 处处成立}
两者最大值只在端点 1 取到，恰好暴露出缺失条件。
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