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13　导数乘积差的符号：转为商函数比较

f,gf,g 在区间上可导，g>0g>0，f′g−fg′<0f' g-fg'<0；a<x<ba<x<b 位于该区间。
f(x)g(b)>f(b)g(x),f(x)g(a)<f(a)g(x)f(x)g(b)>f(b)g(x),\qquad f(x)g(a)<f(a)g(x)
①读题：一正一负的交叉导数，认商法则
f′g−fg′<0,g>0\ringG{f'g-fg'<0},\qquad\ringB{g>0}
(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
若是加号 f′g+fg′，才是乘积的导数；这里是减号。
②先把目标除成比值，看看想比较谁
f(x)g(b)>f(b)g(x)f(x)g(b)>f(b)g(x)
g(x)g(b)>0，除过去不变号
f(x)g(x)>f(b)g(b)\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}
a<x<b提示 fg 严格递减a<x<b\quad\text{提示 }\frac fg\text{ 严格递减}
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③辅助函数与定义域检查
F(x)=f(x)g(x)F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
g(x)>0⟹g(x)≠0⟹F 可导g(x)>0\Longrightarrow g(x)\ne0\Longrightarrow F\text{ 可导}
F′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2<0F'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}<0
④选拉格朗日：把导数的符号传给函数差
任取 u<v；F 在 [u,v] 连续、内部可导。
F(v)−F(u)=F′(ξ)(v−u),u<ξ<vF(v)-F(u)=F'(\xi)(v-u),\quad u<\xi<v
F′(ξ)<0,v−u>0⟹F(v)<F(u)F'(\xi)<0,\quad v-u>0\Longrightarrow F(v)<F(u)
此处不需要罗尔的端点相等；目标就是比较不等。
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⑤按 a<x<b 排好三个函数值
F(a)>F(x)>F(b)F(a)>F(x)>F(b)
f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b)\frac{f(a)}{g(a)}>\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}
区间中的 a、x、b 都是函数有定义且可导的位置。
⑥交叉相乘，逐次保留正号依据
g(a)g(x)>0⟹f(a)g(x)>f(x)g(a)g(a)g(x)>0\Longrightarrow f(a)g(x)>f(x)g(a)
g(x)g(b)>0⟹f(x)g(b)>f(b)g(x)g(x)g(b)>0\Longrightarrow f(x)g(b)>f(b)g(x)
f(x)g(a)<f(a)g(x),f(x)g(b)>f(b)g(x)\boxed{f(x)g(a)<f(a)g(x),\quad f(x)g(b)>f(b)g(x)}
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⑦为什么不能改成乘积 fg 递减
f=ex,g=e2xf=e^x,\quad g=e^{2x}
f′g−fg′=−e3x<0f'g-fg'=-e^{3x}<0
(fg)′=(e3x)′=3e3x>0(fg)'=(e^{3x})'=3e^{3x}>0
fg=e−x 递减，但 fg=e3x 递增\frac fg=e^{-x}\text{ 递减，但 }fg=e^{3x}\text{ 递增}
⑧若条件只给 g≠0，应检查什么
可导函数连续；在一个区间内无零点，g 就不能变号。
g(a)g(x)>0,g(x)g(b)>0g(a)g(x)>0,\quad g(x)g(b)>0
所以若整个区间 g≠0，这两个乘积仍为正；若只知道某几个点非零，则不能据此跨越中间零点套商函数比较。
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