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第二视角 · 中值定理与证明题第 9 项 / 1—4

09　积分正交条件：为什么至少有两个不同零点

f 在 [a,b] 连续f\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}，a<ba<b，f≢0f\not\equiv0，∫abf=∫abxf=0\int_a^b f=\int_a^b xf=0。
f 在 (a,b) 至少有两个不同零点f\text{ 在 }(a,b)\text{ 至少有两个不同零点}
①读题：两个积分同时为零，可以相减出什么？
∫abf(x) dx=0,∫abxf(x) dx=0\ringB{\int_a^bf(x)\,dx=0},\quad\ringB{\int_a^bxf(x)\,dx=0}
∫ab(x−c)f(x) dx=0对任意常数 c 都成立\int_a^b(x-c)f(x)\,dx=0\quad\text{对任意常数 c 都成立}
c 可以按反证中假设的零点位置来选；这是题设留出的可调因子。
②先选介值，再用积分符号反证
题设只要求连续，没有可导条件；不能把罗尔当作默认路线。
∫f=0, f≢0→既有正值又有负值→至少一个零点\int f=0,\ f\not\equiv0\to\text{既有正值又有负值}\to\text{至少一个零点}
若只有一个零点 c→(x−c)f(x) 同号→积分不为零\text{若只有一个零点 c}\to(x-c)f(x)\text{ 同号}\to\text{积分不为零}
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③为什么一定同时出现正值与负值
若 f≥0 且不恒为零，某内点附近有严格正下界。
f(u)>0⟹∃δ>0:f(x)≥12f(u)>0(∣x−u∣≤δ)f(u)>0\Longrightarrow\exists\delta>0:\quad f(x)\ge\tfrac12f(u)>0\quad(|x-u|\le\delta)
[u−δ,u+δ]⊂(a,b)[u-\delta,u+\delta]\subset(a,b)
∫abf(x) dx≥δf(u)>0矛盾\int_a^bf(x)\,dx\ge\delta f(u)>0\quad\text{矛盾}
若只有负值同理。非零值若先出现在端点，连续性保证附近内点也非零。
∃u,v∈(a,b):f(u)>0>f(v)\exists u,v\in(a,b):\quad f(u)>0>f(v)
④第一个零点由介值定理给出
在 u、v 之间的闭区间上使用介值定理。
∃c∈(min⁡(u,v),max⁡(u,v)):f(c)=0\exists c\in(\min(u,v),\max(u,v)):\quad f(c)=0
若已经有两个不同内点零点，结论完成；否则反设 c 是唯一内点零点。
f(x)≠0(x∈(a,c)∪(c,b))f(x)\ne0\quad(x\in(a,c)\cup(c,b))
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⑤唯一零点为什么意味着两侧各自定号
若同一侧出现正、负值，连续性会给这一侧另一个零点。
f 在 (a,c) 定号，在 (c,b) 定号f\text{ 在 }(a,c)\text{ 定号，在 }(c,b)\text{ 定号}
前面已知正、负值都存在，所以两侧符号必须相反。
x(a,c)(c,b)x−c−+f(x) 的一种情形−+(x−c)f(x)++\begin{array}{c|cc}x&(a,c)&(c,b)\\\hline x-c&-&+\\f(x)\text{ 的一种情形}&-&+\\(x-c)f(x)&+&+\end{array}
⑥乘以 x−c，把变号抵消掉
若上表符号相反，乘积就在两侧都为负；两种情况分别处理即可。
(x−c)f(x)>0 (a<x<b, x≠c)⟹∫ab(x−c)f(x) dx>0(x-c)f(x)>0\ (a<x<b,\ x\ne c)\Longrightarrow\int_a^b(x-c)f(x)\,dx>0
(x−c)f(x)<0 (a<x<b, x≠c)⟹∫ab(x−c)f(x) dx<0(x-c)f(x)<0\ (a<x<b,\ x\ne c)\Longrightarrow\int_a^b(x-c)f(x)\,dx<0
连续、同号且不恒为零，保证积分严格非零。
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⑦与题设相撞，完成反证
∫ab(x−c)f(x) dx=∫abxf(x) dx−c∫abf(x) dx\int_a^b(x-c)f(x)\,dx=\int_a^bxf(x)\,dx-c\int_a^bf(x)\,dx
=0−c⋅0=0=0-c\cdot0=0
f 在 (a,b) 至少有两个不同零点\boxed{f\text{ 在 }(a,b)\text{ 至少有两个不同零点}}
矛盾来自“假设只有一个”；没有把零点数恰好等于二当成结论。
⑧少一个积分条件会怎样？
f(x)=x−12,[0,1]f(x)=x-\tfrac12,\quad[0,1]
∫01f(x) dx=0,f 仅有一个零点 12\int_0^1f(x)\,dx=0,\quad f\text{ 仅有一个零点 }\tfrac12
∫01xf(x) dx=13−14=112≠0\int_0^1xf(x)\,dx=\frac13-\frac14=\frac1{12}\ne0
第二个条件的作用正是控制乘上一次因子后的积分。
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