全部34项上一项下一项
第二视角 · 中值定理与证明题第 10 项 / 1—4

10　等端点的非恒常函数：正负导数分别构造

a<ba<b，ff 在 [a,b][a,b] 连续、在 (a,b)(a,b) 可导，不恒为常数且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)。 中点分段分支允许恒常函数：FF 在 [0,1][0,1] 连续、内部可导且 F(0)=F(1)F(0)=F(1)。
∃u,v∈(a,b):f′(u)>0,f′(v)<0\exists u,v\in(a,b):\quad f'(u)>0,\quad f'(v)<0
①读题：想要正、负导数，不能只找零导数
f(a)=f(b),f 不恒为常数\ringB{f(a)=f(b)},\quad f\text{ 不恒为常数}
f′(u)>0,f′(v)<0\ringR{f'(u)>0},\qquad\ringR{f'(v)<0}
罗尔只给 f′=0；正负号来自向上、向下的两段割线。
②从“不恒常”找一个中间高点或低点
∃c∈(a,b):f(c)≠f(a)=f(b)\exists c\in(a,b):\quad f(c)\ne f(a)=f(b)
f(c)>f(a)或f(c)<f(a)f(c)>f(a)\quad\text{或}\quad f(c)<f(a)
端点都相等，所以非恒常的差异一定能在内点找到。
第二视角 · 中值定理与证明题第 10 项 / 2—4

10　等端点的非恒常函数：正负导数分别构造 · 续

③两段拉格朗日，点的位置和分母都写清
f 在 [a,c]、[c,b] 均连续，内部均可导。
∃ξ1∈(a,c):f′(ξ1)=f(c)−f(a)c−a\exists\xi_1\in(a,c):\quad f'(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}
∃ξ2∈(c,b):f′(ξ2)=f(b)−f(c)b−c\exists\xi_2\in(c,b):\quad f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}
c−a>0,b−c>0c-a>0,\quad b-c>0
④分两种符号，得到同一存在结论
f(c)>f(a):f′(ξ1)>0>f′(ξ2)f(c)>f(a):\quad f'(\xi_1)>0>f'(\xi_2)
f(c)<f(a):f′(ξ1)<0<f′(ξ2)f(c)<f(a):\quad f'(\xi_1)<0<f'(\xi_2)
分别把导数为正的点命名为 u、为负的点命名为 v。
∃u,v∈(a,b):f′(u)>0, f′(v)<0\boxed{\exists u,v\in(a,b):f'(u)>0,\ f'(v)<0}
不能同时额外要求 u<v；第二种情形中正导数点在右侧。
第二视角 · 中值定理与证明题第 10 项 / 3—4

10　等端点的非恒常函数：正负导数分别构造 · 续

⑤等长两段：为何导数和恰好为零
另取 F 在 [0,1] 连续、内部可导且 F(0)=F(1)。此分支允许常函数。
∃u∈(0,12):F′(u)=2[F(12)−F(0)]\exists u\in(0,\tfrac12):F'(u)=2[F(\tfrac12)-F(0)]
∃v∈(12,1):F′(v)=2[F(1)−F(12)]\exists v\in(\tfrac12,1):F'(v)=2[F(1)-F(\tfrac12)]
F′(u)+F′(v)=2[F(1)−F(0)]=0F'(u)+F'(v)=2[F(1)-F(0)]=0
⑥若目标含 u²+v²，辅助项从导数反推
f′(u)+f′(v)=u2+v2f'(u)+f'(v)=u^2+v^2
移项后，希望两处 F′相加为零
F′(x)=f′(x)−x2⟹F(x)=f(x)−x33F'(x)=f'(x)-x^2\Longrightarrow F(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}
f(0)=0, f(1)=13⟹F(0)=F(1)=0f(0)=0,\ f(1)=\tfrac13\Longrightarrow F(0)=F(1)=0
对 F 使用上一步的两段拉格朗日，立即得到目标，且 u、v 位于不同半区间。
第二视角 · 中值定理与证明题第 10 项 / 4—4

10　等端点的非恒常函数：正负导数分别构造 · 续

⑦对称辅助函数还能指定 v=1−u
G(x)=F(x)−F(1−x)G(x)=F(x)-F(1-x)
G(0)=0,G(12)=0G(0)=0,\quad G(\tfrac12)=0
G′(x)=F′(x)+F′(1−x)G'(x)=F'(x)+F'(1-x)
注意链式法则里的两个负号相消。在 [0,1/2] 用罗尔：
∃u∈(0,12):G′(u)=0,v=1−u∈(12,1)\exists u\in(0,\tfrac12):G'(u)=0,\quad v=1-u\in(\tfrac12,1)
F′(u)+F′(v)=0F'(u)+F'(v)=0
⑧必须保留的条件
f≡C⟹f′≡0f\equiv C\Longrightarrow f'\equiv0
所以正负导数那一问必须排除常函数；导数和等于零的分支则不必排除。
正负号→两段拉格朗日;对称和→F(x)−F(1−x)\text{正负号}\to\text{两段拉格朗日};\quad\text{对称和}\to F(x)-F(1-x)
打开题源对照
对照原解析 · 4 条题源