围绕内点展开端点：导数界与最佳位置

第二视角 · 中值定理与证明题第 8 项 / 1—4

08　围绕内点展开端点：导数界与最佳位置

f\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}

，区间内二阶可导且

|f''|\le M

；

f(a)=f(b)

，

a<x<b

。末行

c\in(a,b)

。

|f'(x)|\le\frac{M[(x-a)^2+(b-x)^2]}{2(b-a)}

①读题：等端点与二阶界，目标却是一阶导数

\ringB{f(a)=f(b)},\qquad\ringG{|f''|\le M}

\text{目标含 }f'(x)\Longrightarrow\text{以这个 x 为共同展开中心}

x 是任意固定内点；不能只证明某个点的导数有界。

②为什么一次罗尔不够

f(a)=f(b)\xrightarrow{\text{罗尔}}f'(\xi)=0

这只给某个 ξ，无法直接控制任意给定 x。

\text{两端泰勒}\to\text{相减消 }f(x)\to\text{留下 }(b-a)f'(x)

第二视角 · 中值定理与证明题第 8 项 / 2—4

③把两个端点分别展开

f(a)=f(x)+(a-x)f'(x)+\frac{(a-x)^2}{2}f''(\xi_1)

a<\xi_1<x

f(b)=f(x)+(b-x)f'(x)+\frac{(b-x)^2}{2}f''(\xi_2)

x<\xi_2<b

f 在闭区间连续、内部二阶可导；展开中心为内点，f′在其附近可导因而连续。

④为什么相减；每个系数算清楚

f(b)-f(a)=0,\qquad(b-x)-(a-x)=b-a

0=(b-a)f'(x)+\tfrac12[(b-x)^2f''(\xi_2)-(a-x)^2f''(\xi_1)]

2(b-a)f'(x)=(a-x)^2f''(\xi_1)-(b-x)^2f''(\xi_2)

第二视角 · 中值定理与证明题第 8 项 / 3—4

⑤取绝对值并逐项用导数界

2(b-a)|f'(x)|\le(a-x)^2|f''(\xi_1)|+(b-x)^2|f''(\xi_2)|

\le M[(x-a)^2+(b-x)^2]

2(b−a)>0，除过去不改变方向

\boxed{|f'(x)|\le\frac{M[(x-a)^2+(b-x)^2]}{2(b-a)}}

⑥中点为什么是这条界的最佳位置

(x-a)^2+(b-x)^2=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(b-a)^2}{2}

x=\frac{a+b}{2}\Longrightarrow\boxed{|f'(x)|\le\frac{M(b-a)}4}

这里“最佳位置”指右边这个表达式在中点最小，不是任意位置都能套中点常数。

第二视角 · 中值定理与证明题第 8 项 / 4—4

⑦零端点、驻点高度：再用两次泰勒

另设 f(a)=f(b)=0，c∈(a,b) 且 f′(c)=0。

0=f(c)+\frac{(a-c)^2}{2}f''(\eta_1)

0=f(c)+\frac{(b-c)^2}{2}f''(\eta_2)

|f(c)|\le\frac M2\min\{(c-a)^2,(b-c)^2\}

\min(c-a,b-c)\le\frac{b-a}{2}\Longrightarrow |f(c)|\le\frac{M(b-a)^2}{8}

⑧检查等号与量纲

f(x)=\frac M2(x-a)(b-x)

f(a)=f(b)=0,\quad f''=-M,\quad f'(\tfrac{a+b}{2})=0

f(\tfrac{a+b}{2})=\frac{M(b-a)^2}{8}

高度界的区间长度是平方；导数界的区间长度是一次。两者不能混用。

对照原解析 · 6 条题源