柯西中值定理与导数比控制差商

第二视角 · 中值定理与证明题第 7 项 / 1—4

07　柯西中值定理与导数比控制差商

f,g\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}

，在

(a,b)

可导且

g'\ne0

，

a<b

。

\text{存在}\xi\in(a,b):\quad\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

①读题：两个函数的增量必须成对出现

\ringB{f(b)-f(a)}\quad\text{与}\quad\ringB{g(b)-g(a)}

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\ \longleftrightarrow\ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

柯西的特点：两种增量对应同一个中值点。

②比值形式之前，先排除零分母

g(b)=g(a)\ \xrightarrow{\text{罗尔}}\ \exists\eta\in(a,b):g'(\eta)=0

g'\ne0\Longrightarrow\red{g(b)-g(a)\ne0}

罗尔条件由 g 闭区间连续、内部可导保证。

第二视角 · 中值定理与证明题第 7 项 / 2—4

③辅助函数的来源：交叉相乘并做端点差

[f(b)-f(a)]g'(\xi)-[g(b)-g(a)]f'(\xi)=0

两个方括号都是常数；反向积分一阶导数

F(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]

\phantom{F(x)=}{}-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]

减去端点值，让左端自动归零。

④逐个检查新函数端点

F(a)=[f(b)-f(a)]\cdot0-[g(b)-g(a)]\cdot0=0

F(b)=[f(b)-f(a)][g(b)-g(a)]

\phantom{F(b)=}{}-[g(b)-g(a)][f(b)-f(a)]=0

两个乘积互换次序后完全相同，因此右端也为零。

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⑤完整证明：罗尔产生交叉形式

F 闭区间连续、内部可导；在 [a,b] 使用罗尔。

\exists\xi\in(a,b):\quad F'(\xi)=0

[f(b)-f(a)]g'(\xi)=[g(b)-g(a)]f'(\xi)

g′(ξ)≠0 且 g(b)−g(a)≠0；两边同除

\boxed{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}

⑥为什么拉格朗日是它的特例

g(x)=x\Longrightarrow g(b)-g(a)=b-a,\quad g'(\xi)=1

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)

只出现区间长度时，用拉格朗日即可；第二种增量有自身结构时再考虑柯西。

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⑦具体比较：对数差商怎样夹住

0<a<b,\quad f(x)=\ln x,\quad g(x)=x

\ln b-\ln a=\frac{b-a}{\xi},\qquad a<\xi<b

正数取倒数，不等号反向

\frac1b<\frac1\xi<\frac1a

\boxed{\frac{b-a}{b}<\ln\frac ba<\frac{b-a}{a}}

⑧不能分开用两次拉格朗日后直接合点

f(b)-f(a)=f'(\xi_1)(b-a),\quad g(b)-g(a)=g'(\xi_2)(b-a)

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}

这两点未必相同。目标要求同点比值时，用上述整体构造，而不是把下标擦掉。

对照原解析 · 9 条题源