指数因子与商函数的中值构造

第二视角 · 中值定理与证明题第 6 项 / 1—4

06　指数因子与商函数的中值构造

f\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}

且在

(a,b)

可导；

\lambda\text{ 为实数}

。末两式另设

g\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}

，在

(a,b)

可导，且

g(x)\ne0

对所有

x\in[a,b]

成立。

[e^{\lambda x}f(x)]'=e^{\lambda x}[f'(x)+\lambda f(x)]

①读题：f′加常数倍 f，像哪个导数？

\ringG{f'(x)+\lambda f(x)}

[u(x)f(x)]'=u(x)f'(x)+u'(x)f(x)

希望两项系数之比为 λ

\frac{u'}u=\lambda\Longrightarrow u=e^{\lambda x}

②正因子有什么作用

F(x)=e^{\lambda x}f(x)

F'(x)=e^{\lambda x}[f'(x)+\lambda f(x)]

\ringR{e^{\lambda x}>0}

乘它不会改变零点关系或不等号方向；无需限制 λ 的正负。

第二视角 · 中值定理与证明题第 6 项 / 2—4

③选罗尔还是拉格朗日，要再看端点

e^{\lambda a}f(a)=e^{\lambda b}f(b)\Longrightarrow F(a)=F(b)

\text{端点相等}\to\text{罗尔}\to F'(\xi)=0

F(b)-F(a)\ne0\to\text{拉格朗日给整段差商}

仅认出导数结构还不够，必须查新函数的端点关系。

④完整的零点证明

补充本分支条件：指数加权的端点值相等。F 闭区间连续、内部可导。

\exists\xi\in(a,b):\quad0=F'(\xi)=e^{\lambda\xi}[f'(\xi)+\lambda f(\xi)]

除以严格正的指数因子

\boxed{f'(\xi)+\lambda f(\xi)=0}

第二视角 · 中值定理与证明题第 6 项 / 3—4

⑤符号分支：不相等时也可以比较端点

f'(x)+\lambda f(x)\ge0\Longrightarrow F'(x)\ge0

对 F 在 [a,b] 用拉格朗日。

F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)\ge0

\boxed{e^{\lambda b}f(b)\ge e^{\lambda a}f(a)}

⑥乘积差结构为什么改成商函数

\ringG{f'g-fg'}\quad\longrightarrow\quad\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

另设 g 在闭区间连续、内部可导，且整个闭区间 g≠0。

G(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

f(a)g(b)=f(b)g(a)\Longleftrightarrow G(a)=G(b)

第二视角 · 中值定理与证明题第 6 项 / 4—4

⑦商函数路线的完整证明

分母无零点，G 满足罗尔的连续与可导条件。

\exists\eta\in(a,b):\quad0=G'(\eta)=\frac{f'(\eta)g(\eta)-f(\eta)g'(\eta)}{g(\eta)^2}

g(\eta)^2>0\Longrightarrow f'(\eta)g(\eta)-f(\eta)g'(\eta)=0

若 g 有零点，这条商函数路线需要换构造，不能直接除。

⑧把隐藏因子写出来练一次

f'-2f\quad\longrightarrow\quad[e^{-2x}f(x)]'=e^{-2x}(f'-2f)

f'+f\quad\longrightarrow\quad[e^x f(x)]'=e^x(f'+f)

先认目标里 f 的系数，再确定指数；不要把所有“加一项”的式子都机械乘 eˣ。

对照原解析 · 6 条题源