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第二视角 · 中值定理与证明题第 5 项 / 1—4

05　凸性、切线与割线斜率的不等式

f 在 [a,b] 连续f\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}，在 (a,b)(a,b) 可导且 f′f' 单调不减；公式中的端点导数另假设 f+′(a),f−′(b)f'_+(a),f'_-(b) 存在且有限。 末尾整数采样例另要求 ff 在 [1,+∞)[1,+\infty) 有二阶导数且 f′′>0f''>0。 严格割线条件指每个 a<x1<x2<x3<ba<x_1<x_2<x_3<b 都满足相邻割线斜率严格递增；此分支只需 ff 在 (a,b)(a,b) 可导。 固定右端点割线分支只要求凸性（图形在弦线下方），不要求可导。
f′(a)≤f(b)−f(a)b−a≤f′(b)f'(a)\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le f'(b)
①读题：导数不减怎样传递到割线
f′ 不减,a<x<b\ringG{f'\text{ 不减}},\quad a<x<b
f(x)−f(a)x−a与f(b)−f(x)b−x\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad\text{与}\quad\frac{f(b)-f(x)}{b-x}
两段区间左右分离，中值点的位置才可以比较。
②选定理：斜率用拉格朗日，值的界再移项
∃ξ1∈(a,x):f(x)−f(a)x−a=f′(ξ1)\exists\xi_1\in(a,x):\quad\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi_1)
∃ξ2∈(x,b):f(b)−f(x)b−x=f′(ξ2)\exists\xi_2\in(x,b):\quad\frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f'(\xi_2)
ξ1<ξ2⟹f′(ξ1)≤f′(ξ2)\xi_1<\xi_2\Longrightarrow f'(\xi_1)\le f'(\xi_2)
f 闭区间连续、内部可导，两个子区间都满足拉格朗日条件。
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③割线不等式怎样变成弦线不等式
f(x)−f(a)x−a≤f(b)−f(x)b−x\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le\frac{f(b)-f(x)}{b-x}
两个分母均为正，交叉相乘不变号
(b−x)[f(x)−f(a)]≤(x−a)[f(b)−f(x)](b-x)[f(x)-f(a)]\le(x-a)[f(b)-f(x)]
(b−a)f(x)≤(b−x)f(a)+(x−a)f(b)(b-a)f(x)\le(b-x)f(a)+(x-a)f(b)
f(x)≤b−xb−af(a)+x−ab−af(b)\boxed{f(x)\le\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)}
④切线不等式：左右两边必须分别看符号
f(x)−f(c)=f′(ξ)(x−c)f(x)-f(c)=f'(\xi)(x-c)
x>c: c<ξ<x, f′(ξ)≥f′(c), x−c>0x>c:\ c<\xi<x,\ f'(\xi)\ge f'(c),\ x-c>0
x<c: x<ξ<c, f′(ξ)≤f′(c), x−c<0x<c:\ x<\xi<c,\ f'(\xi)\le f'(c),\ x-c<0
第二种情况乘负数，不等号反向
f(x)≥f(c)+f′(c)(x−c)f(x)\ge f(c)+f'(c)(x-c)
f=ex, c=0:ex≥1+xf=e^x,\ c=0:\quad e^x\ge1+x
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⑤端点导数夹住整段斜率
本分支另假设端点单侧导数存在且有限。
f(x)−f(a)x−a≤f(b)−f(a)b−a≤f(b)−f(x)b−x\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(b)-f(x)}{b-x}
左边令 x→a⁺，右边令 x→b⁻
f+′(a)≤f(b)−f(a)b−a≤f−′(b)\boxed{f'_+(a)\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le f'_-(b)}
不可把端点导数存在当成“内部可导”自动附送的条件。
⑥整数采样：为什么相邻增量越来越大
本分支 f 在 [1,+∞) 二阶可导且 f″>0。
f(n+1)−f(n)=f′(ξn),n<ξn<n+1f(n+1)-f(n)=f'(\xi_n),\quad n<\xi_n<n+1
ξn<n+1<ξn+1⟹f′(ξn)<f′(ξn+1)\xi_n<n+1<\xi_{n+1}\Longrightarrow f'(\xi_n)<f'(\xi_{n+1})
f(2)>f(1)⟹f(n)≥f(1)+(n−1)[f(2)−f(1)]→+∞f(2)>f(1)\Longrightarrow f(n)\ge f(1)+(n-1)[f(2)-f(1)]\to+\infty
最后是把 n−1 个增量逐项下界相加。
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⑦严格割线条件为什么迫使 f′严格递增
u<t<v:f(v)−f(u)v−u=t−uv−uf(t)−f(u)t−u+v−tv−uf(v)−f(t)v−tu<t<v:\quad\frac{f(v)-f(u)}{v-u}=\frac{t-u}{v-u}\frac{f(t)-f(u)}{t-u}+\frac{v-t}{v-u}\frac{f(v)-f(t)}{v-t}
两项严格有序，正权平均位于它们之间；令 t 趋向端点可得 f′不减。
f′(u)≤f(v)−f(u)v−u≤f′(v)f'(u)\le\frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le f'(v)
f′(u)=f′(v)=C⟹f′(t)=C (u<t<v)f'(u)=f'(v)=C\Longrightarrow f'(t)=C\ (u<t<v)
f(t)=f(u)+C(t−u)⟹内部相邻割线斜率都为 C，矛盾f(t)=f(u)+C(t-u)\Longrightarrow\text{内部相邻割线斜率都为 C，矛盾}
反向：f′严格递增，对两个相邻区间用拉格朗日即得严格割线比较。
⑧固定一端的割线递增，不能反推全部凸性
−1≤u<v<1:v=1−v1−uu+v−u1−u⋅1-1\le u<v<1:\quad v=\frac{1-v}{1-u}u+\frac{v-u}{1-u}\cdot1
凸性代入此正权组合，移项再除以正的 1−v，得到
f(v)−f(1)v−1≥f(u)−f(1)u−1\frac{f(v)-f(1)}{v-1}\ge\frac{f(u)-f(1)}{u-1}
f(x)=(x−1)x3:f(x)−f(1)x−1=x3 严格递增f(x)=(x-1)x^3:\quad\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=x^3\text{ 严格递增}
f′′(x)=12x2−6x 变号；故反向不成立f''(x)=12x^2-6x\text{ 变号；故反向不成立}
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