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第二视角 · 中值定理与证明题第 4 项 / 1—4

04　积分条件构造三个零点

f 在 [−1,1] 连续f\text{ 在 }[-1,1]\text{ 连续}，在 (−1,1)(-1,1) 可导且严格递增；∫−11f(t) dt=0\int_{-1}^1 f(t)\,\mathrm dt=0，a=∫01f(t) dta=\int_0^1 f(t)\,\mathrm dt。
∃ξ∈(−1,1):f′(ξ)=2∫01f(t) dt\exists\xi\in(-1,1):\quad f'(\xi)=2\int_0^1f(t)\,dt
①读题：积分为零给两个端点，小积分给中点
∫−11f(t) dt=0,a=∫01f(t) dt\ringB{\int_{-1}^1f(t)\,dt=0},\qquad\ringB{a=\int_0^1f(t)\,dt}
目标：∃ξ∈(−1,1), f′(ξ)=2a\text{目标：}\quad\exists\xi\in(-1,1),\ f'(\xi)=2a
导数等于常数，先移项认成二阶导数
f′(ξ)−2a=0f'(\xi)-2a=0
②先证明 a>0：严格递增怎样用
∫−10f(t) dt=−a\int_{-1}^0f(t)\,dt=-a
2a=∫01f(t) dt−∫−10f(t) dt2a=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt
t=−u:∫−10f(t) dt=∫01f(−u) dut=-u:\quad\int_{-1}^0f(t)\,dt=\int_0^1f(-u)\,du
2a=∫01[f(t)−f(−t)] dt>02a=\int_0^1[f(t)-f(-t)]\,dt>0
t>0 时 t>−t，严格递增给被积差严格为正；不是由严格递增推 f′处处>0。
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04　积分条件构造三个零点 · 续

③选定理：积分先升一阶，再用两层罗尔
(∫1xf(t) dt)′=f(x),(∫1xf(t) dt)′′=f′(x)\left(\int_1^xf(t)\,dt\right)'=f(x),\qquad\left(\int_1^xf(t)\,dt\right)''=f'(x)
(Ax2+Bx+C)′′=2A(Ax^2+Bx+C)''=2A
需要二阶导数变成 f′−2a，先令 A=−a；再由端点条件定 B、C。
④辅助函数的三个系数怎样算
F(x)=∫1xf(t) dt−ax2+Bx+CF(x)=\int_1^xf(t)\,dt-ax^2+Bx+C
F(1)=0⟹−a+B+C=0F(1)=0\Longrightarrow-a+B+C=0
F(−1)=0⟹−a−B+C=0F(-1)=0\Longrightarrow-a-B+C=0
B=0, C=a⟹F(x)=a(1−x2)+∫1xf(t) dtB=0,\ C=a\Longrightarrow F(x)=a(1-x^2)+\int_1^xf(t)\,dt
F(0)=a−∫01f(t) dt=0F(0)=a-\int_0^1f(t)\,dt=0
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⑤第一层：在左右两段分别用罗尔
f 连续且可导，F 在闭区间连续、内部二阶可导。
F(−1)=F(0)=F(1)=0F(-1)=F(0)=F(1)=0
∃ξ1∈(−1,0):F′(ξ1)=0\exists\xi_1\in(-1,0):F'(\xi_1)=0
∃ξ2∈(0,1):F′(ξ2)=0\exists\xi_2\in(0,1):F'(\xi_2)=0
ξ1<0<ξ2\xi_1<0<\xi_2
⑥第二层：同一个常数 2a 出现
F′ 在 [ξ₁,ξ₂] 连续、内部可导，且两端同为零。
∃ξ∈(ξ1,ξ2):F′′(ξ)=0\exists\xi\in(\xi_1,\xi_2):\quad F''(\xi)=0
F′(x)=−2ax+f(x),F′′(x)=−2a+f′(x)F'(x)=-2ax+f(x),\qquad F''(x)=-2a+f'(x)
f′(ξ)=2a,−1<ξ<1\boxed{f'(\xi)=2a},\qquad-1<\xi<1
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⑦换一种看法：也可先找两条斜率
F(−1)=F(0)=F(1)=0⟹F(0)−F(−1)1=F(1)−F(0)1=0F(-1)=F(0)=F(1)=0\Longrightarrow\frac{F(0)-F(-1)}1=\frac{F(1)-F(0)}1=0
对两段使用拉格朗日，得到同样的两个 F′ 零点；再对 F′ 用罗尔。
这里拉格朗日的斜率恰好为零，所以直接称罗尔更短。
⑧验算与迁移
f(x)=x:a=∫01x dx=12,f′(x)=1=2af(x)=x:\quad a=\int_0^1x\,dx=\tfrac12,\quad f'(x)=1=2a
f(x)=x3:a=14,3ξ2=12⟹ξ=±16f(x)=x^3:\quad a=\tfrac14,\quad3\xi^2=\tfrac12\Longrightarrow\xi=\pm\tfrac1{\sqrt6}
看到积分条件、目标含 f′：尝试变上限积分；再由目标常数的导数阶数决定补一次还是二次项。
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