乘积导数构造中值辅助函数

第二视角 · 中值定理与证明题第 2 项 / 1—4

02　乘积导数构造中值辅助函数

a<b

，

f\text{ 在 }[a,b]\text{ 连续}

且在

(a,b)

可导。

\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f'(\xi)

①读题：端点乘积与导数两项互相对应

\ringB{\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}}=\ringG{f(\xi)+\xi f'(\xi)}

右边识别乘积求导，左边核对端点

[xf(x)]'=1\cdot f(x)+x f'(x)

②选定理：差商等于一个导数

\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)\quad\green{\text{拉格朗日}}

罗尔也可用，但须先减一次项使端点相等；柯西取第二函数 x 就退回拉格朗日。

只给一阶可导，不用额外二阶条件或泰勒展开。

第二视角 · 中值定理与证明题第 2 项 / 2—4

③辅助函数怎样确定

u=x,\quad v=f(x),\qquad(uv)'=u'v+uv'

F(x)=xf(x),\quad F'(x)=f(x)+xf'(x)

F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)

导数与端点同时匹配，构造才算完成。

④完整证明：一次定理产生同一个点

F 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导。

\exists\xi\in(a,b):\quad F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)

bf(b)-af(a)=[f(\xi)+\xi f'(\xi)](b-a)

b−a>0，两边同除

\boxed{\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f'(\xi)}

第二视角 · 中值定理与证明题第 2 项 / 3—4

⑤罗尔路线：常数不是猜的

G(x)=xf(x)-Cx

G(a)=G(b)\Longleftrightarrow af(a)-Ca=bf(b)-Cb

C(b-a)=bf(b)-af(a)

\purple{C=\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}}

⑥罗尔路线的完整收尾

取上式 C，G 连续、开区间可导，且 G(a)=G(b)。

\exists\xi\in(a,b):\quad G'(\xi)=0

f(\xi)+\xi f'(\xi)-C=0

f(\xi)+\xi f'(\xi)=\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}

第二视角 · 中值定理与证明题第 2 项 / 4—4

⑦别把两个不同的中值点拼成一个

f(x)=x^2,\quad[a,b]=[0,1]

\text{对 f 用拉格朗日：}\quad 1=2\xi\Longrightarrow\xi=\frac12

f(\tfrac12)+\tfrac12 f'(\tfrac12)=\tfrac34\ne1

\text{对 }xf(x)=x^3:\quad1=3\xi^2\Longrightarrow\xi=\frac1{\sqrt3}

⑧变式：两项中看见 x² 和 2x

\green{2xf(x)+x^2f'(x)=[x^2f(x)]'}

设 F=x²f，正则性不变；拉格朗日给

\exists\xi\in(a,b):\quad\frac{b^2f(b)-a^2f(a)}{b-a}=2\xi f(\xi)+\xi^2 f'(\xi)

记住乘积法则的两项对应，不必记一张辅助函数表。

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