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第二视角 · 中值定理与证明题第 1 项 / 1—4

01　固定点存在与唯一：介值加罗尔

ff 在 [0,1][0,1] 连续、(0,1)(0,1) 可导；0<f(x)<10<f(x)<1，f′(x)≠1f'(x)\ne1。
存在唯一 ξ∈(0,1):f(ξ)=ξ\text{存在唯一}\,\xi\in(0,1):\quad f(\xi)=\xi
①读题：等号两边有同一个自变量
f(ξ)=ξ→移项f(ξ)−ξ=0\ringR{f(\xi)=\xi}\quad\xrightarrow{\text{移项}}\quad f(\xi)-\xi=0
0<f(0),f(1)<1\ringB{0<f(0)},\qquad\ringB{f(1)<1}
先把“交点”改成“零点”；存在和唯一分开做。
②选定理：存在看异号，唯一看反证
F(0)F(1)<0 →介值 至少一个零点F(0)F(1)<0\ \xrightarrow{\text{介值}}\ \text{至少一个零点}
F(ξ)=F(η)=0 →罗尔 F′(c)=0F(\xi)=F(\eta)=0\ \xrightarrow{\text{罗尔}}\ F'(c)=0
罗尔本身不制造第一个零点。拉格朗日也能排除两根，但罗尔直接对应两个零值。
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01　固定点存在与唯一：介值加罗尔 · 续

③辅助函数来自目标的移项
F(x)=f(x)−x\blue{F(x)=f(x)-x}
F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)−1<0F(0)=f(0)>0,\qquad F(1)=f(1)-1<0
F′(x)=f′(x)−1≠0\green{F'(x)=f'(x)-1\ne0}
减去 x：同时把目标化零，把题给 f′≠1 化成 F′≠0。
④存在性的完整证明
F 在 [0,1] 连续，端点严格异号。
∃ξ∈(0,1):F(ξ)=0\exists\xi\in(0,1):\quad F(\xi)=0
代回定义
f(ξ)−ξ=0 ⟹ f(ξ)=ξf(\xi)-\xi=0\ \Longrightarrow\ f(\xi)=\xi
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⑤唯一性的完整证明
反设还有另一根 η；交换名字后可令 ξ<η。
0<ξ<η<1,F(ξ)=F(η)=00<\xi<\eta<1,\quad F(\xi)=F(\eta)=0
F 在 [ξ,η] 连续，在 (ξ,η) 可导；罗尔给出
∃c∈(ξ,η):0=F′(c)=f′(c)−1\exists c\in(\xi,\eta):\quad0=F'(c)=f'(c)-1
f′(c)=1与题设矛盾f'(c)=1\quad\red{\text{与题设矛盾}}
⑥为什么不直接说 f 单调？
f′(x)≠1⇏f′(x)>0f'(x)\ne1\quad\not\Rightarrow\quad f'(x)>0
它限制的是导数与 1 的关系，不是与 0 的关系。
f′(x)−1⏟F′(x)≠0已经足够排除 F 的两个零点\underbrace{f'(x)-1}_{F'(x)}\ne0\quad\text{已经足够排除 F 的两个零点}
不必额外假设导数连续，也不必先讨论 f 的单调性。
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⑦边界条件改变时，哪一步失效？
0≤f(x)≤1 ⟹ F(0)≥0, F(1)≤00\le f(x)\le1\ \Longrightarrow\ F(0)\ge0,\ F(1)\le0
这只保证闭区间内的固定点，可能落在端点。
f(x)=0:f′(x)≠1,f(x)=x⟺x=0f(x)=0:\quad f'(x)\ne1,\quad f(x)=x\Longleftrightarrow x=0
⑧下一次遇到交点：先写这一行
f(ξ)=g(ξ) ⟹ F=f−gf(\xi)=g(\xi)\ \Longrightarrow\ F=f-g
存在：看 F(a),F(b);唯一：看 F′=f′−g′\text{存在：看 }F(a),F(b);\qquad\text{唯一：看 }F'=f'-g'
再检查区间连续性、开区间可导性；不能仅凭移项就宣称交点存在。
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