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第二视角 · 中值定理与证明题第 17 项 / 1—4

17　有限开区间上导数有界推出函数有界

−∞<a<b<∞-\infty<a<b<\infty，ff 在 (a,b)(a,b) 可导，∣f′∣≤M|f'|\le M。
∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣,∣f(x)∣≤∣f(a+b2)∣+M(b−a)2|f(x)-f(y)|\le M|x-y|,\qquad |f(x)|\le|f(\frac{a+b}{2})|+\frac{M(b-a)}{2}
①读题：导数有界，怎样控制函数值？
∣f′(x)∣≤M,−∞<a<b<∞\ringG{|f'(x)|\le M},\quad -\infty<a<b<\infty
先控 ∣f(x)−f(y)∣再固定一个 y\text{先控 }|f(x)-f(y)|\quad\text{再固定一个 }y
没有端点连续条件，所以只在内部闭区间用中值定理。
②选拉格朗日：把函数差换成导数乘距离
x<y,x,y∈(a,b)x<y,\quad x,y\in(a,b)
f 在 (a,b) 可导，因而在 [x,y] 连续、内部可导。
∃ξ∈(x,y):f(y)−f(x)=f′(ξ)(y−x)\exists\xi\in(x,y):f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x)
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③绝对值的每一步依据
∣f(y)−f(x)∣=∣f′(ξ)∣ ∣y−x∣|f(y)-f(x)|=|f'(\xi)|\,|y-x|
≤M∣y−x∣\le M|y-x|
x>y 时交换两点；x=y 时两边同为零。
∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣(x,y∈(a,b))\boxed{|f(x)-f(y)|\le M|x-y|}\quad(x,y\in(a,b))
④为什么选一个固定中点
c=a+b2∈(a,b),∣x−c∣<b−a2c=\frac{a+b}{2}\in(a,b),\quad |x-c|<\frac{b-a}{2}
中点处 f(c) 是一个固定有限数；它不是随 x 改变的未知上界。
∣f(x)−f(c)∣≤M∣x−c∣≤M(b−a)2|f(x)-f(c)|\le M|x-c|\le\frac{M(b-a)}2
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⑤加减 f(c)，完成函数有界的证明
f(x)=f(c)+[f(x)−f(c)]f(x)=f(c)+[f(x)-f(c)]
三角不等式
∣f(x)∣≤∣f(c)∣+∣f(x)−f(c)∣|f(x)|\le|f(c)|+|f(x)-f(c)|
∣f(x)∣≤∣f(a+b2)∣+M(b−a)2\boxed{|f(x)|\le|f(\tfrac{a+b}{2})|+\frac{M(b-a)}2}
右边与 x 无关，所以是整个开区间上的统一上界。
⑥只说 f 和 f′连续，够不够？
f(x)=1x,0<x<1f(x)=\frac1x,\quad0<x<1
f′(x)=−1x2 在 (0,1) 连续f'(x)=-\frac1{x^2}\text{ 在 }(0,1)\text{ 连续}
x→0+:f(x)→+∞x\to0^+:f(x)\to+\infty
开区间上的连续函数不一定有界；不能套闭区间最值定理。
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⑦反向命题也不成立
f(x)=x,0<x<1f(x)=\sqrt{x},\quad0<x<1
0<f(x)<1,f′(x)=12x→+∞(x→0+)0<f(x)<1,\qquad f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}\to+\infty\quad(x\to0^+)
函数有界不能反推出导数有界。
⑧有限区间这一条件在哪里使用？
∣x−c∣≤b−a2|x-c|\le\frac{b-a}{2}
正是在控制距离时用到区间有限。
f(x)=x,0<x<∞:f′(x)=1 有界，f 无界f(x)=x,\quad0<x<\infty:\quad f'(x)=1\text{ 有界，}f\text{ 无界}
函数差→导数界×距离界→固定点加减\text{函数差}\to\text{导数界}\times\text{距离界}\to\text{固定点加减}
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